【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（I）由平行四边形的性质可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性质得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC； （II）以A为原点建立空间直角坐标系，设法向量
及
=λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的
的坐标，根据线面角相等列方程解出λ．
【解答】（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，
∵AB=AC，∴AB⊥AC．
∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB， ∴EF⊥AC．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°， ∴PA⊥底面ABCD． 又EF?底面ABCD， ∴PA⊥EF．
又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， ∴EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图： 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0）， ∴设∴
=（2，0，﹣2），=λ（0≤λ≤1），则=
=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2λ，2λ，﹣2λ），
，
=（1，1，﹣2）．
=（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），
显然平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）． 设平面PBC的法向量为=（x，y，z）， 则
，即
令x=1，得=（1，1，1）． ∴cos＜，
＞=
=
，cos＜
＞=
=
．
∵直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，
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∴||=||，即，
解得∴
，或．
（舍）．
20．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率
，直线
与以原点为
圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点N（【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（I）由离心率为即可解得a，b值；
（Ⅱ）要证明直线AB过定点N（
，﹣l），可证
．设MA：y=k1x+1，代入椭圆
得
，由直线l与圆相切得
=b，再由b2+c2=a2，﹣l）．
方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可表示点A坐标，同理可得点B坐标，由向量共线的条件可证；
【解答】解：（I）由已知得：，解得，
故椭圆方程为：；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k1x+1，
17
由得：，
则，所以，
所以A（﹣，），同理可得B（﹣，），
所以=（，），
，
所以?﹣
===0，
故
，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（﹣，﹣1）．
21．已知函数f（x）=﹣2ax+1+lnx
（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，
并求此时的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由基本不等式可得斜率的最小值，及切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论判别式的符号，设出二次方程的两根，运用韦达定理和构造函数
值，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=0，∴∴
，当仅当
，
时，即x=1时，f'（x）的最小值为2，
，
，x∈（0，1），求出导数，求得单调区间和极值、最
∴斜率k的最小值为2，切点A
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∴切线方程为，即4x﹣2y﹣1=0；
（Ⅱ）∵，
①当﹣1≤a≤1时，f（x）单调递增无极值点，不符合题意；
②当a＞1或a＜﹣1时，令f'（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2， 因为x1为函数f（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2， 又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x1＜1， ∴f′（x1）=0，
，则
，
∵==
，x1∈（0，1），
令，x∈（0，1），
∴，∴h′（x）=﹣3x+=，x∈（0，1），
当
∴h′（x）在∴
时，h′（x）＞0，当
上单调递增，在
时，h′（x）＜0，
上单调递减，
，
∴h（x）在（0，1）上单调递减．
∴h（x）＞h（1）=﹣1，原题得证．
四.请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE?BD﹣AE?AC．
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【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；
（2）由（1）知，BD?BE=BA?BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE?BD﹣AE?AC． 【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径， 所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠AFE=90°， 则A，D，E，F四点共圆 ∴∠DEA=∠DFA
（2）由（1）知，BD?BE=BA?BF， 又△ABC∽△AEF∴
，即AB?AF=AE?AC
∴BE?BD﹣AE?AC=BA?BF﹣AB?AF=AB?（BF﹣AF）=AB2
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）． （1）求C的直角坐标方程；
（2）直线l：B两点，为参数）与曲线C交于A，与y轴交于E，求|EA|+|EB|
的值．
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系． 【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值． 【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ） ∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ ∴x2+y2=2x+2y
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 得t2﹣t﹣1=0，
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所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=
=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2． （1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围． 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y=f（x）}?{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5 ∴﹣7＜|x﹣1|＜3，
得不等式的解为﹣2＜x＜4…
（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立， 所以{y|y=f（x）}?{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|， g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5， 所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…
21