高等数学（B）（1）作业答案
高等数学（B）（1）作业1
初等数学知识
一、名词解释：
邻域——设a和?是两个实数，且??0，满足不等式x?a??的实数x的全体，称为点a的?邻域。
绝对值——数轴上表示数a的点到原点之间的距离称为数a的绝对值。记为
a。
区间——数轴上的一段实数。分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。 实数——有理数和无理数统称为实数。 二、填空题
aa?(b?0)、?a?a?a、1．绝对值的性质有a?0、ab?ab、bba?b?a?b、a?b?a?b。
2．开区间的表示有(a,b)、
。
3．闭区间的表示有[a，b]、。
4．无穷大的记号为?。
??)表示全体实数，或记为???x???。 5．(??，6．(??，b)表示小于b的实数，或记为???x?b。
??)表示大于a的实数，或记为a?x???。 7．(a，8．去心邻域是指(a??，a)?(a，a??)的全体。用数轴表示即为9.MANZU
1
9．满足不等式?2?三、回答题
11??1的数x用区间可表示为(?1，?]。 x21．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。 （3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。 （4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。 2．答：包括整数与分数。 3．答：不对，可能有无理数。
5]。 4．答：等价于(1，135．答：(，)。
22四、计算题
?x?1?0?x?1?01．解：(x?1)(x?2)?0??或??x?2或x?1。
x?2?0x?2?0???解集为(??,1)?(2,??)。 ?x?1?0?x?1?02．解：x2?6x?5?0?(x?1)(x?5)?0?? 或??x?5?0?x?5?0?x?5或x?1 ?解集为（??，1]?[5，??)。 3．解：x2?3x?10?0?(x?2)(x?5)?0?x1?2，x2??5为方程的解。
函 数（P3）
一、名词解释
函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x?D}叫做函数的值域。
奇函数——若函数y?f(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的x，恒有
f(?x)??f(x)，则称函数y?f(x)为奇函数。
偶函数——若函数y?f(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的x，恒有
f(?x)?f(x)，则称函数y?f(x)为偶函数。
定义域——自变量的取值范围，记作x?D。
值域——所有函数值组成的集合，记作G={y|y=f(x),x?D}。
2
初等数学——包括几何与代数，基本上是常量的数学。
三角函数：称y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx，y?secx，y?cscx为三角函数。
指数函数——称函数y?ax(a?0，a?1)为指数函数。
复合函数——设y?f(u)，u??(x)，若u??(x)的值域包含在y?f(u)的定义域中，则y通过u构成x的函数，记作y?f(?(x))，称其为复合函数，u称为中间变量。
对数函数——称函数y?logax(a?0，且a?1)为对数函数。
反函数——若函数y?f(x)的值域为G，若?y?G，都有一个确定的且满足y?f(x)的x值与之对应。则由此得到一个定义在G上的以y为自变量、x为因变量的新函数，称它为y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y)。
幂函数——称函数y?x?（?为实数）为幂函数。 常函数——称函数y?c(c为常数)为常函数。 常量——在某一变化过程中，始终保持不变的量。 变量——在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 二、填空题
1．函数概念最早是由莱布尼兹引进的。有了函数概念，人们就可以从数量上描述运动。
2．在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷，并给出了一个不能画
?0，x是无理数出图形的函数。这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是f(x)??。
1，x是有理数?3．函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法。 4．函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则。
5．单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时，与之对应的函数值是唯一的函数。
6．奇函数的图像特点是关于原点对称，偶函数的图像特点是关于y轴对称。 7．单调函数的图像特点是总是上升或总是下降。 8．反函数的图像特点是关于直线y=x对称。 三、回答题
1．答：设函数y?f(x)在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对所有的x?D，恒有f(x)?M，则称函数y?f(x)为有界函数。
2．答：（1）当一个函数y?f(x)在区间(a，b)内有界时，正数M的取法不是唯一的。
（2）有界性是依赖于区间的。
3
3．答：?x1，x2?(a，b)，且x1?x2，则f(x1)?f(x2)，则称函数y?f(x)在区间(a，b)内单调增加。否则，称为单调减少。
4．答：若函数y?f(x)在区间(a，b)内单调，其值域是(c，d)，则函数y?f(x)存在反函数y?f?1(x)，其定义域是(c，d)，值域是(a，b)。 四、作图题
（1）y?x2 解：是抛物线。 （2）y?x3 解：是立方抛物线。 （3）y?sinx 解：是正弦曲线。 （4）y?cosx 解：是余弦曲线。 （5）y?tanx 解：是正切曲线。 1（6）y?x2 解：是半抛物线。 （7）y?lnx 解：是自然对数函数。 （8）y?2x 解：是指数函数(a>1)。 （9）y?log2x 解：是对数函数(a>1)。 （10）y?log1x解：是对数函数（a<1）。
2(11)y?e?x 解：是指数函数(a<1)。 (12) y?ex 解：是指数函数(a>1)。
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
第（4）题图 第（5）题图 第（6）题图
第（7）题图 第（8）题图 第（9）题图
4
第（10）题图 第（11）题图 第（12）题图
五、计算题
l2l2（1）解：s??r??()?。
2?4?2?2x?2y?60?x?20（2）解：设长为x，宽为y，则?， ??y?10y?10??面积s?20?10?200cm2。
??)。 （3）解：x?1?0?x??1，所以定义域为(?1，15（4）解：f(2)?log25， f()?log2， f(a?b)?log2(a2?2ab?b2?1)
24f(x2)?log2(x4?1)。
（5）解：由y?y?xx2y解得x?，交换x和y，得到y?的反函数x?2x?21?y2x1)?(1，??)。 ，由x?1?0?x?1，故定义域为(??，1?x（6）解：复合函数为y?(x?1?1)2?1?x?2x?1?3 六、讨论题
答：（1）复合函数是函数之间的一种运算； （2）并不是任何两个函数都能构成一个复合函数； （3）复合函数可以是由多个（大于两个）函数复合而成； （4）y?f(u)，u??(x)中，后者的值域正好是前者的定义域；
（5）构成复合函数的各简单函数，除了最后一个外，都是基本初等函数。
极 限（P9）
一、名词解释
极 限——一个数列或函数其变化趋势的终极状态。
无穷小量——极限为零的变量或者常数0。
连 续——设函数y?f(x)在x?x0及其一个邻域内有定义，且等式
x?x0limf(x)?f(x0)成立，则称函数y?f(x)在x?x0连续。
数列极限——对数列{xn}来说，若n??时，xn?a，则称数列{xn}的极
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