定 积 分（P26）
一、名词解释
定积分——设函数y?f(x)在区间在区间[a，b]内插入n?1[a，b]上连续，个分点：a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，把区间[a，b]分成n个小区间
[xi，xi?1]，其长度为?xi?xi?1?xi，其中i?0，1，2，3，?，n-1，在每个小区间[xi，xi?1]上任取一点?i：xi??i?xi?1，并作乘积f(?i)?xi，再求出部分和，则称S为函数Sn??f(?i)?xi，令??max{?xi}，若limSn?S（S为常数）
i?00?i?n?1n?1??0by?f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx?lim?f(?i)?xi
an?1i?0??0定积分几何意义——若函数y?f(x)?0，则定积分?f(x)dx表示由曲线
aby?f(x)、直线x?a、x?b以及x轴所围的曲边梯形的面积。
[a，b]上连续，定积分中值定理——设函数y?f(x)在区间 则在[a，b]上至少存在一?，使得点?f(x)dx?f(?)(b?a)，其中??[a，b]。
ab[a，b]上连续，微积分基本定理——设函数y?f(x)在区间则?f(x)dx
abb=F(x)?F(b)?F(a)，这里F?(x)?f(x)
a牛顿—莱布尼兹公式——即微积分基本定理中的公式。 二、填空题
1．定积分是对连续变化过程总效果的度量，求曲边形区域的面积是定积分概念的最直接的起源。
2．积分学的基本问题是非均匀变化量的求积问题。它的数学模型是f(?i)?xi，它的物理原形是求变速运动的路程，它的几何原形是求曲边???0limi?0n?1梯形的面积。
3．微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题，它的数学模型是?y，它的物理原形是求瞬时速度，它的几何原形是求切线斜率，它的基本?x?0?xlim运算是求导运算和求微分的运算。
4．微分学研究的是函数的局部性态，无论是微分概念，还是微商概念，都是逐点给出的。数学家研究函数的局部性质，其目的在于以局部定整体。
5．积分学包括不定积分和定积分两大部分，不定积分的目的是提供积分方16
法。
三、回答题
1．定积分有哪些应用？
答：物理学应用，几何学应用等。例如，路程问题，曲边梯形面积问题等。 2．定积分的性质有哪些？ 答：由以下9条：
（1）?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx；
aaabbb （2）?kf(x)dx?k?f(x)dx；
aabb（3）?f(x)dx???f(x)dx；
abba（4）?f(x)dx?0；
aa（5）?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx；
aacbcb（6）?dx?b?a；
ab（7）若在[a，b]上，f(x)?g(x)，则?f(x)dx??g(x)dx；
aabby?f(x)在[a，b]上的最大值和最小值, （8）设M，m分别是函数 则：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)；
ab[a，b]上连续，?，（9）设函数y?f(x)在区间 则在[a，b]上至少存在一点使得?f(x)dx?f(?)(b?a)，其中??[a，b]。
ab3．简述积分区间上限为变量时定积分定理。
[a，b]上有定义且连续，答：设函数y?f(t)在闭区间则?f(t)dt在[a，b]上可
ax导，且[?f(t)dt]??f(x)。
ax4．建立定积分步骤有哪些？ 答：分为4步：
（1）分割；（2）作积f(?i)?xi；（3）作和?f(?i)?xi；（4）取极限lim?f(?i)?xi，
i?0n?1n?1i?0??0
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其中??0max?i?n?1{?xi}。
四、计算题
1．利用定积分性质，比较下列积分值大小。
（1）解：?当x?[0，1]时，x2?x3， ??1x2dx??1x300dx
（2）解：?当x?[1，2]时，x3?x2， ??2x3dx??211x2dx
（3）解：?当x?[1，2]时，lnx?ln2x， ??2lnxdx?21?1ln2xdx
2．求函数y?2x2?3x?3在区间[1，4]上的平均值。
解：平均值A=144?1?1(2x2?3x?3)dx?13(23x3?32x2?3x)4491?2. 3．设y??xsintdt，求dy0dxx?? 4解：dydx?(?x0sintdt)??sinx， ?dydxx???sinx??2。 4x?4224．设y??x111?Adx，求dydx。 解：dyx21dx=(?11?Adx)??2x1?A。
5．计算下列定积分 （1） 解：?3x3dx11?4x431?20 （2） 解：?4xdx?233324213x1?3(42?12)?143 （3） 解：?2?sinxdx??cos2??x???[1?(?1)]??2
（4） 解：?0?1e?xdx???0?1e?xd(?x)??e?x0?1??(e0?e?1)?1e?1
（5） 解：??2x?1x?3dx???2x?3?3?1x?3dx???2?1(1?3x?3)dx
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?x（6） 解：?4?2?2?3lnx?3??1?3(ln1?ln2)?3ln2?1 ?1?1111411141141dt?(?)dt?dt?dt 2???11162t?32t?362t?362t?34t?9?4141111111ln2t?3?ln2t?3?ln5?ln?ln5?ln11
1121121212561244146．解：如下图, 体积V=??f2(x)dx???4axdx?4?ax2?32?a
0020
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．解：如上图，
222?x2x211体积V???(1?)dx???(1?x?)dx??(x?x2?x3)?
0003242122?y?2x?3?x1??1?x2?38．解：如上图，? ， ??或?2y?1y?9y?x?1?2?33132 面积S??[(2x?3)?x2]dx?(x2?3x?x3)?
?1?1334429．解：如上图，面积S??edx?e?e?e
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高等数学（B）（1）作业4
微积分简史
注意：以下六题自己从书中相应位置的内容去概括，要抓住重点，言简意赅，写满所留的空地。
1．论述微分学的早期史。 答：见书P216——217 2．简述费马对微分学的贡献。 答：见书P217——218 3．简述巴罗对微分学的贡献。 答：见书P218——220 4．论述积分学的早期史。 答：见书P206——210
5．论述微积分对人类历史的贡献。
答：见书“一、前言”一开始的部分（前两段）。 6．牛顿和莱布尼兹对微积分的发现做出了什么贡献？ 答：见书P222——225。
微分方程(P33) 一、回答题
1．微分方程的定义。
答：含有未知函数的导数或微分的方程。 2．何为微分方程的通解、特解、初始条件？
答：满足微分方程的所有函数，叫做微分方程的通解；满足微分方程的一个解或者部分解，称为微分方程的特解。微分方程最初所满足的条件，叫做初始条件。
3．何为变量可分离的微分方程？ 答：把形如
dy?f(x)g(y)的微分方程，称为微分方程。 dx4．微分方程与建模有和关系。
答：抛弃具体意义，只关心微分方程的形状，研究如何解方程，等这些工作做熟练了，反过来又可以用它解决实际问题。
5．建模思想和步骤是什么？
答：建模思想就是将各种各样的实际问题化为数学问题，通过建立数学模型，最终使实际问题得到解决。
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