限为a, 记作limxn?a。
n??函数极限——设函数y?f(x)在x?x0的附近有定义，当x?x0时，
f(x)?A，则称函数y?f(x)在x?x0时的极限为A ，记作limf(x)?A
x?x0无穷大量——若limf(x)??，则称f(x)为该极限过程下的无穷大量。 二、填空题
1．从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题：求面积，体积，弧长，瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。
2．极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。
3．在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。
4．公元3世纪，中国数学家刘徽的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率?的。
5．极限概念产生于求面积求切线两个实际问题。 三、回答题
1．简述连续性概念。
答：设函数y?f(x)在x?x0及其一个邻域内有定义，且等式
x?x0limf(x)?f(x0)成立，则称函数y?f(x)在x?x0连续。y?f(x)在（a,b）内
连续是指函数y?f(x)在（a,b）内的每个点处均连续。
2．间断点分成几类？
的左右极限均存在?第一类间断点：在该点答：间断点?
第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在?3．什么是单侧连续？
f(x)?f(x0)答：设函数y?f(x)在x?x0及其右邻域内有定义，且等式lim?0x?x0成立，则称函数y?f(x)在x?x0右连续。同理可定义左连续。
4．什么是连续函数？
答：若函数y?f(x)在（a,b）内的每个点处均连续，且在左端点处右连续，右端点处左连续，则称函数y?f(x)在[a,b]上连续。
5．简述复合函数的连续性定理。
答：设函数y?f(z)在点z?z0处连续，函数z??(x)在点x?x0处连续，而
z0??(x0)，并设y?f[?(x)]在点x?x0的某一邻域内有定义，则复合函数
y?f[?(x)]在点x?x0处连续。
四、论述题
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极限思想的辩证意义是什么？
答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态，是一个无限逼近的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数。在解决实际问题时，“无限”的过程标志着可以得到精确的答案，他是为解决实际问题的需要而产生的，反过来又成为解决实际问题的有力工具。
五、计算题
4?2（1）解：lim4n2?2n24n??3n2?1?limn???
3?13n2x（2）解：lim2x?0sin2x?lim1x?0sin2x?14?14
2x（3）解：lim(n?1?n1n??)?limn??n?1?n?0
（4）解：lim11x??(1?x)x?limx??[(1??x)?x]?1?e?1?1e 六、讨论
解：xlim?0?f(x)?xlim?0?(1?x)?1 xlim?0?f(x)?xlim?0?0?0 ? xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)， ?函数在x=0处极限不存在。
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高等数学（B）（1）作业2
导 数
一、名词解释
导数——设函数y?f(x)在x?x0及其邻域内有定义， 若limf(x0??x)?f(x0)?y?lim存在，则称此极限值为函数y?f(x)在x?x0?x?0?x?x?0?x点处的导数值。记为，f?(x0)，y?平均变化率——称
dy等。 ，x?x0dxx?x0?yf(x0??x)?f(x0)?为平均变化率。 ?x?x瞬时变化率——称limf(x0??x)?f(x0)?y?lim为瞬时变化率。
?x?0?x?x?0?x导函数——对于区间（a,b）内的每一点x都有导数值，这样由这些导数值构成的函数称为y?f(x)的导函数。
高阶导数——二阶及二阶以上的导数。
驻点——使得f?(x)?0的点。
极值——设函数y?f(x)在x?x0及其邻域内有定义，且在x?x0的邻域内
f(x)?f(x0)恒成立，则称x?x0为极大值点，称f(x0)为极大值。同理可定义极小值。极大值与极小值统称为函数的极值。
二、填空题
1．导数的物理意义是瞬时速度。
2．导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率。 3．导数的第三种解释是变化率。
4．导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。 5．可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导。 三、回答题
1．什么是费马定理？
答：设函数y?f(x)在x?x0的某邻域u(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x?u(x0)，有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），那么f?(x0)?0。
2．什么是罗尔定理？
答：设函数y?f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，并且满足f(a)?f(b)，那么至少存在一点??(a，b)，使得f?(?)?0。
3．什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的?
答：设函数y?f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么
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至少存在一点??(a，b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)。
辅助函数为：?(x)?f(x)?4．函数的性质有哪些？
答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。
5．导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？ 答：导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越陡峭，否则，曲线越平缓。
6．什么是极大值（或极小值）?
答：设函数y?f(x)在x?x0及其邻域内有定义，且在x?x0的邻域内
f(b)?f(a)(x?a)。
b?af(x)?f(x0)恒成立，则称x?x0为极大值点，称f(x0)为极大值。
设函数y?f(x)在x?x0及其邻域内有定义，且在x?x0的邻域内
f(x)?f(x0)恒成立，则称x?x0为极小值点，称f(x0)为极小值。
7．请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。 答：例如：直线y=c(c为常数)，在任意一点都满足费马定理的条件，且导数值都是0，但是在任意一点处都不是极值点。
8．最大值与极大值是一回事吗？
答：不是一回事。连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值，但是最大值和最小值却各有一个。
9．求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？
答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；（2）计算出比区间端点处的函数值；
（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。
（4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出唯一驻点，它就是答案。
四、计算题
?yf(3??x)?f(3)(3??x)2?32?lim?lim?lim(6??x)?6 1．解：lim?x?0?x?x?0?x?0?x?0?x?x2．解：y??4x3?41?。 x22x3．解：y??2xsinx?x2cosx 4．解：y??1 xlnn1(?sinx)??tanx cosx9
5．解：y??cos(cosx3)(?sinx3)3x2??3x2cos(cosx3)sinx3 6．解：y??7．解：当x?0时，y??(lnx)??1 x?111? 综上所述，(lnx)?? ?xxx1当x?0时，y??[ln(?x)]??8．解：y???e?x9．解：y??2x22?3?()ln()?x 3332x 1?x22(1?x2)?2x2x2?2x2 y????2222(1?x)(1?x)10． 解：y??cosx?sin(1??2?x) ?x) ?x)
y????sinx?sin(2??2 y?????cosx?sin(3? ? ? y(n)?sin(n?五、应用题
?2?2?x)
44?V??t3 1．解：V??R3，R?t，334 V???3t2?4?t2， 当R?10时， t?10，V??400?，
3 答：体积V增加的速率为400?cm/s. 2. 解：设一边长为x,则另一边长为1-x,
矩形面积S=x(1-x)=x?x2, S??1?2x, 令S??0，解得x? 答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。 2．解：设宽为x米，则长为
512512米，围墙长度为L?2x?。 xx1
。 2
5122x2?512 L??2?2?，令L??0， 2xx即2x2?512?0，解得x??16 舍掉x??16，
x 512/x
10
答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省。