微 分（P17）
一、名词解释
微分——设函数y?f(x)在点x处可导，则称f?(x)?x为函数y?f(x)在点x处的微分，记作dy，即dy?f?(x)?x
函数的一阶微分形式的不变性——无论u是自变量也好，还是中间变量也好， dy?f?(u)du总是成立的。
微分的线性化—— 由lim?y?f?(x0)知，?y?f?(x0)?x??(?是比?x高阶的无穷小)，其中
?x?0?xf?(x0)?x为线性主部，也就是微分。
二、填空题
1．微分有双重意义，一是表示微小的量，二是表示一种与求导密切相关的运算。
2．微分学包括两个系统：概念系统与算法系统。
3．导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近的性质。
4．微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系，建立了微积分理论联系实际的桥梁。
三、回答题
1．微分学基本问题是什么？ 答：求非均匀变化量的变化率问题。 2．微分学的基本运算是什么？ 答：求导运算和求微分的运算。 3．微分的线性化有什么应用？ 答：可进行近似计算等。 四、计算题 1．（1）解：y??0?4x11??，?dy??dx 4x4x3x34x?x4xln41?xln41?xln4?，?dy?dx （2）解：y??42x4x4x?dy?sin2xdx （3）解：y??2sinxcosx?sin2x，（4）解：y??sinx?xcosx， ?dy?(sinx?xcosx)dx
42．解：?V??(38.043?83)cm
33．解：设f(x)?3x，取x0?1，?x?0.03
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则f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)??x，
1??31.03?f(1)?f?(1)?x?31?x3?0.03?1?0.01?1.01
x?13五、证明题
证明：令f(x)?ex，取x0?0，?x?x，
则ex?f(x)?f(?x)?f(0??x)?f(0)?f?(0)?x?e0?ex2?x?1?x，
x?0?ex?1?x，证毕。
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高等数学（B）（1）作业3
不定积分
一、名词解释
原函数——如果函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处有：
F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)是f(x)的一个原函数。
不定积分——若F(x)是f(x)的一个原函数，则称F(x)?C为f(x)的不定积分。记作?f(x)dx?F(x)?C.
不定积分几何意义——表示形状完全一样只是位置不同的一族曲线。 二、填空题
1．在数学中必须考虑的运算有两类：正运算与逆运算。
2．对应于加法运算的逆运算是减法，对应于乘法运算的逆运算是除法，对应于正整数次乘方运算的逆运算是开方，对应于微分运算的逆运算是积分。
3．关于逆运算我们至少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算困难，二是逆运算常常引出新结果。如减法引出负数，除法引出有理数，正数开方引出无理数，负数开方引出虚数。
三、回答题
1．什么叫函数f(x)在区间（a,b）的原函数？有多少个？它们彼此之间有什么关系？
答：若F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，有无穷多个，彼此之间相差一个常数。
2．什么叫函数f(x)在区间（a,b）的不定积分？
答：函数f(x)的原函数的全体，称为函数f(x)的不定积分。 3．两个函数的不定积分相等是什么意思？ 答：这两个函数相等。
4．说明数学运算中存在的正运算与逆运算。
答：减法是加法的逆运算；除法是乘法的逆运算；开方是乘方的逆运算；不定积分是微分的逆运算；等等。
5．说明原函数和不定积分的关系。 答：原函数的全体就是不定积分。 四、计算题
1．求下列函数的原函数
（1）解：因为?5dx?5x?C， 所以该函数的原函数为f(x)?5x?C
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（2）解：???2xdx??x2?C，?该函数的原函数为f(x)??x2?C （3）解：??4e2xdx?4?12?e2xd(2x)?2e2x?C， ?该函数的原函数为f(x)?2e2x?C 114（4）解：??63xdx?6?x3dx?6?11x3?1?92x3?C 3?14?该函数的原函数为f(x)?92x3?C
（5）解：??6x5dx?6?1x5?16?C?x6?C，
?该函数的原函数为f(x)?x6?C
（6）解：??2dx?2x?C，?该函数的原函数为f(x)?2x?C （7）解：??12xdx?x?C，?该函数的原函数为f(x)?x?C
（8）解：???sinxdx?cosx?C，?该函数的原函数为f(x)?cosx?C （9）解：??x?6dx??15x?5?C，?该函数的原函数为f(x)??15x?5?C（10）解：???3d??1?44?C，?该函数的原函数为f(?)?14?4?C 2．求下列各不定积分 （1）解：?x4dx?15x5?C 335（2）解：?xxdx??x2dx?13x2?1?C?2x25?C
2?1（3）解：?(14xxx?4)dx?lnx?ln4?C （4）解：?tan2xdx??(sec2x?1)dx?tanx?x?C （5）解：?exdx?ex?C
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（6）解：?11dx??d(x?1)?lnx?1?C x?1x?112sinx?C 2x?112d(1?x)
2?1?x2（7）解：?sinxcosxdx??sinxdsinx?rctan（8）解?axdx?xarctanx??x1dx?xarctan21?x1 =xarctanx?ln(1?x2)?C
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