步骤：（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；
（2）形成数学模型； （3）求解数学问题；
（4）研究算法，并尽量使用计算机； （5）回到实际中去，解释结果。 二、计算题
1．求下列微分方程的解。
（1）解：y??(2x?3)dx?x2?3x?C，代入初始条件得C??1，
?
满足初始条件的特解为y?x2?3x?1
12（2）解：y??4xdx?4?xdx?4?11?12x1?128?C?x2?C
333888 代入初始条件得C??， ? 满足初始条件的特解为y?x2?
333（3）解：y??6e3xdx?63xed(3x)?2e3x?C，代入初始条件得C?2， ?3 ? 满足初始条件的特解为y?2e3x?2
1?2?y?3x??x211?2．解：由题意：?，y??(3x2?2)dx?x3??C，
xx?y?2??x??1 代入初始条件得C??4，?f(x)?x3?1?4 x?y??200?0.2x?3．解：由题意：?，y??(200?0.2x)dx?200x?0.1x2?C
?yx?1000?100000? 代入初始条件得C?0，?所求的函数关系是y?200x?x2
?dR??kRdt??dR??kdt 4．解：由题意：?R，分离变量：?R0Rt?0??R?R?0??t?16002
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dR?kdt ? lnR?kt?lnC? 两边积分：?R?R?Cekt，
代入初始条件Rt?0?R0得：C?R0，这时：
R?R0ekt，
R 代入初始条件R?0得：
R0?R0e1600k ?e1600k?1 t?160022 ?1600k??ln2 ?k??ln21600，代入
R?R0ekt得
ln2R?R?t0e?1600t，化简得：
R?R021600，
t 所以镭的量R与时间t的函数关系为
R?R02?1600
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高等数学（B）（1）综合练习
一、名词解释
1．函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x?D}叫做函数的值域。
2. 奇函数——若函数y?f(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的x，恒有f(?x)??f(x)，则称函数y?f(x)为奇函数。
3．连续——设函数y?f(x)在x?x0及其一个邻域内有定义，且等式
x?x0limf(x)?f(x0)成立，则称函数y?f(x)在x?x0连续。y?f(x)在（a,b）内
连续是指函数y?f(x)在（a,b）内的每个点处均连续。
[a，b]上连续，4．定积分——设函数y?f(x)在区间在区间[a，b]内插入
n?1个分点：a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，把区间[a，b]分成n个小区间
[xi，xi?1]，其长度为?xi?xi?1?xi，其中i?0，1，2，3，?，n-1，在每个小区间[xi，xi?1]上任取一点?i：xi??i?xi?1，并作乘积f(?i)?xi，再求出部分和，则称S为函数Sn??f(?i)?xi，令??max{?xi}，若limSn?S（S为常数）
i?00?i?n?1n?1??0by?f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx?lim?f(?i)?xi
an?1i?0??05．微分方程——含有未知函数的导数或微分的方程。 二、填空题
1．函数y?3x的反函数是（y?log3x）；
2．若函数f(x)在（a，b）内可导且单调增加，则?x?(a，b)，有
f?(x)(?)0；
13．lim(1?)4x?(e4)；
x??x4．若(?f(x)dx)??sinx，则f(x)?(sinx)；
5．若函数y?ax2?bx?c在点x?1的一阶导数为零，则在该点取得极值且为 （a+b+c）；
三、判断题
1．若f(x)在（a，b）内严格单调，则f(x)在（a，b）内存在反函数；（ ）
??)都是偶函数，2．若f(x)与g(x)在(??，则f(x)g(x)在实数范围内也是偶函
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数。（ ）
3．若数列{an}单调增加，则数列{an}存在极限；（ ） 4．若函数f(x)在点a可导，则函数f(x)在点a连续；( )
5．函数f(x)在（a，b）内的极大值必定大于它在该区间内的极小值。( ) 四、单选题
10）?（0，??）1．函数f(x)?x?在（??，内（ D ）。
xA．没有极大值点； B. 没有极小值点；
C．既没有极大值点也没有极小值点 D . 既有极大值点也有极小值点 2．设函数f(x)连续，则 A．f(x)； C．
df(x)dx等于（ A ） ?dxB. f(x)dx； D.
df(x). dxf(x)?C；
3．下列函数中，（ C ）为复合函数。 A．y?1； xB. y?3x； D. y?log2x.
h?0 C．y?1?lnx；
4．设函数f(x)在点x0处可导，则limf(x0?h)?f(x0)( B )。
hA．与x0，h都有关； B. 仅与x0有关，而与h无关； C．仅与h有关，而与x0无关； D. 与x0，h都无关。 5．若在区间[a，b]上f(x)>0，在（a，b）内f?(x)?0，根据定积分的几何意义，则?f(x)dx（ A ）。
ab A．大于f(b)(b?a)； C．等于f(b)(b?a)； 五、计算题 1．求函数f(x)?B. 小于f(b)(b?a)； D. 大于f(a)(b?a).
x?13?x2的定义域。
解：由题意知 3?x2?0??3?x?3，?函数的定义域为(?3，3). 2．用导数定义求函数f(x)?x2?x?2在点x?1的导数。
f(1??x)?f(1)(1??x)2?(1??x)?2?2?x2??x?lim?lim解：lim
?x?0?x?0?x?0?x?x?x?lim(?x?1)?1
?x?024
3．求e0.1的近似值。
解：令y?ex，取x0?0，?x?0.1，
则由近似公式：f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x，
e0.1?e0?e0?0.1?1.1
4．设函数f(x)?x5?7x3?1，求其原函数。 解：?(x5?7x3?1)dx?所以原函数为：y?1674x?x?x?C 641674x?x?x?C 645．求不定积分?a2?x2dx
解：令x?asint，则a2?x2?acost， dx?acostdt，
11 ??a2?x2dx??a2cos2tdt?a2?(?cos2t)dt
22t1a2a2?a(?sin2t)?C?t?sintcost?C
24222a2xa2xa2?x2 ?arcsin??C
2a2aaa2xxa2?x2 ?arcsin??C 如下图。
2a2
六、论述题
试简要论述微积分产生的历史背景。 答：见书P205。
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