∵∠ADB=30°，AB=4， ∴AC=8， ∴BC==4， ∴BF=CF=2， ∵CD=CE=4，
∴EF=CE﹣CF=4﹣2， 在Rt△OFE中， OE=
=4
．
点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目综合性很强．
19．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是
；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是
（用树状图或列表法求解）．
考点： 列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定．
分析： （1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率． 解答： 解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，
故P（所画三角形是等腰三角形）=；
（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
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∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形， ∴所画的四边形是平行四边形的概率P=故答案为：（1），（2）．
点评： 此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键．
20．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
=．
考点： 切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形． 专题： 几何综合题． 分析： （1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线； （2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=
BH=3
．解Rt△AFG，得
=
，则tan
AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH=∠FGD可求．
解答： （1）证明：连结OD，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°， 而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，
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∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°， ∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9， 在Rt△AFG中，∵∠A=60°， ∴FG=AF×sinA=9×
=
；
（3）解：过D作DH⊥AB于H． ∵FG⊥AB，DH⊥AB， ∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°， ∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=3，DH=
BH=3
．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°， ∴AG=AF=，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，∴tan∠GDH===， ∴tan∠FGD=tan∠GDH=
．
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点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．
21．某城区举行“八荣八耻”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在七，八年级分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示：
根据图和下表提供的信息，解答下列问题： （1）请你把右边的表格填写完整；
（2）考虑平均数与方差，你认为哪年级的团体成绩更好些；
（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些，请说明理由．
成绩统计 众数 平均数 方差 七年级 85.7 39.61 八年级 85.7 27.81
考点： 方差；条形统计图；算术平均数；众数． 专题： 压轴题；图表型．
分析： （1）众数即出现次数最多的那个数，通过读图得到，七年级有三人均拿了80分，八年级有3人拿了85分，从而确定七、八年级的众数； （2）根据方差的意义分析；
（3）分别计算两个年级前三名的总分，得出较高的一个班级实力较强一些． 解答： 解：（1）
团体成绩 众数 平均数 方差 七年级 80 85.7 39.6
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八年级 85 85.7 27.81
（2）由于平均数一样，而八年级的方差小于七年级的方差，方差越小则其稳定性就越强，所以应该是八年级实力强一些；
（3）七年级前三名总分：99+91+89=279（分）， 八年级前三名总分：97+88+88=273（分）， ∴七年级实力更强些． 点评： 此题不但要求学生能看懂折线统计图，而且要求掌握方差、平均数、众数的运用．
22．如图，直线L经过点A（0，﹣1），且与双曲线c：y=交于点B（2，1）． （1）求双曲线c及直线L的解析式；
（2）已知P（a﹣1，a）在双曲线c上，求P点的坐标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 计算题．
分析： （1）将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出双曲线c解析式；设一处函数解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线L的解析式； （2）将P坐标代入反比例解析式求出a的值，即可确定出P坐标． 解答： 解：（1）将B（2，1）代入反比例解析式得：m=2， 则双曲线解析式为y=， 设直线L解析式为y=kx+b， 将A与B坐标代入得：解得：
，
，
则直线L解析式为y=x﹣1；
（2）将P（a﹣1，a）代入反比例解析式得：a（a﹣1）=2，
2
整理得：a﹣a﹣2=0，即（a﹣2）（a+1）=0， 解得：a=2或a=﹣1，
则P坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．
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