点评： 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23．如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）．观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？ （参考数据：≈1.414，≈1.732）
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 专题： 压轴题． 分析： 延长AB至D点，作CD⊥AD于D，根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，利用三角形的外角的性质得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得CD=BD=200米后即可求得三角形ABC的周长．
解答： 解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于一点D， 根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°， 故∠DBC=∠DCB=45°， 在Rt△ADC中，
∵AC=400米，∠BAC=30°， ∴CD=BD=200米，
∴BC=200米，AD=200米
∴AB=AD﹣BD=（200﹣200）米，
∴三角形ABC的周长为400+200+（200﹣200）≈829米 小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了约829米．
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点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型并求解．
24．为扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元的无息贷款，用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司的经营利润逐步偿还无息贷款，一盒子该产品的生产成本为每件40元；员工每人每月工资是2500元，公司每月支出其它费用15万元，该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式如图所示．
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司应安排员工多少人？ （3）若该公司有100名员工，则该公司最早可在几个月内还清无息贷款？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）从图中看，这是一个分段一次函数，40≤x≤60和60＜x＜80时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工a人，利润=销售额一生产成本﹣员工工资﹣其它费用，列出方程即可解； （3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解． 解答： 解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b， 则解得
， ．
故y=﹣0.1x+8，
同理，当60＜x＜80时，y=﹣0.05x+5． 故y=
；
（2）设公司可安排员工a人，定价50元时， 由5=（﹣0.1×50+8）（50﹣40）﹣15﹣0.25a， 得30﹣15﹣0.25a=5， 解得a=40．
所以公司可安排员工40人； （3）当40≤x≤60时，
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利润w1=（﹣0.1x+8）（x﹣40）﹣15﹣20=﹣0.1（x﹣60）+5， 则当x=60时，wmax=5万元；
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当60＜x＜100时，
w2=（﹣0.05x+5）（x﹣40）﹣15﹣0.25×80
2
=﹣0.05（x﹣70）+10， ∴x=70时，wmax=10万元，
∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元， 设该公司n个月后还清贷款，则10n≥100， ∴n≥8，即n=10为所求． 点评： 此题主要考查二次函数的运用，利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．
25．已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）直接写出二次函数的解析式 y=x+1 ．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，求其函数值y的取值范围； （3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
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考点： 二次函数综合题．
分析： （1）设二次函数解析式为y=ax+1，由于点（﹣1，）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．
（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．
（3）过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，则点A′必在抛物线上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=x+1的交点，由根与系数的关系可得：x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG即可用k表示，从而求得最小值． 解答： （1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
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因此二次函数的解析式可设为y=ax+1． ∵抛物线y=ax+1过点（﹣1，）． 解得：a=．
∴二次函数的解析式为：y=x+1；
（2）解：当x=﹣1时，y=，当x=0时，y=1， 当x=3时，y=
结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜
；
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（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上， ∴GP平分∠AGB．
∴直线GP是∠AGB的对称轴． 过点A作GP的对称点A′，如图2， 则点A′一定在BG上． ∵点A的坐标为（x1，y1）， ∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）． ∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上， ∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．
∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）． 设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）． ∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上， ∴
．
解得：．
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y=x+1的交点， ∴x1、x2是方程kx+2=x+1即x﹣4kx﹣4=0的两个实数根． ∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1?x2=﹣4． ∴n=
=﹣2+2=0．
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∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上． ②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2， ∵直线y=kx+2与y轴相交于点P， ∴点P的坐标为（0，2）． ∴PG=2．
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∴S△ABG=S△APG+S△BPG =PG?AC+PG?BD =PG?（AC+BD） =×2×（﹣x1+x2） =x2﹣x1 ====4
．
∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4． ∴△GAB面积的最小值为4．
点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．
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