【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断． ②正确．只要证明四边形ABDF是平行四边形即可． ③正确．只要证明△BCE≌△FDC．
④正确．只要证明△BDE∽△FGE，得=，由此即可证明．
【解答】解：①正确．∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°， ∵DE=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°， ∵EF=AE，
∴△AEF是等边三角形， ∴AF=AE，∠EAF=60°， 在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF，故①正确． ②正确．∵∠ABC=∠FDC， ∴AB∥DF，
∵∠EAF=∠ACB=60°， ∴AB∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=BC，故②正确． ③正确．∵△ABE≌△ACF， ∴BE=CF，S△ABE=S△AFC， 在△BCE和△FDC中，
，
∴△BCE≌△FDC，
∴S△BCE=S△FDC，
∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正确． ④正确．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG， ∴△BDE∽△FGE， ∴
=
，
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∴=，
∵BD=2DC，DC=DE， ∴
=2，
∴FG=2EG．故④正确．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，需要正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分。 21．（8分）（2016?包头）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：=，解此方程
即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）设袋子中白球有x个， 根据题意得：
=，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解， ∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况， ∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
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【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（8分）（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】解直角三角形． 【专题】探究型． 【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；
（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6
，
，∠E=30°，
，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=∴CE=
=8，
∴BC=BE﹣CE=6﹣8；
，
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x， ∴3x=6，得x=2， ∴BE=8，AE=10， ∴tanE=
==，
=
，
=
，
解得，DE=
∴AD=AE﹣DE=10﹣即AD的长是
．
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【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答． 23．（10分）（2016?包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，
2
横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式． 【专题】几何图形问题．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm， ∴y=20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x+54x， 即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x+54x；
（2）根据题意，得：﹣3x+54x=×20×12， 整理，得：x﹣18x+32=0， 解得：x1=2，x2=16（舍）， ∴x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm． 【点评】本题主要考查根据实际问题列函数关系式及一元二次方程的实际应用能力，数形结合根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”列出函数关系式是解题的关键． 24．（10分）（2016?包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F． （1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
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2
2
22
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；与圆有关的计算． 【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可． 【解答】（1）证明：连接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°， ∴∠A=∠FBD， ∵DF⊥DG， ∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°， ∵∠EDA+∠BDG=90°， ∴∠EDA=∠FDB， 在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（ASA）， ∴AE=BF；
（2）证明：连接EF，BG， ∵△AED≌△BFD，
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