∴DE=DF， ∵∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°， ∵∠G=∠A=45°， ∴∠G=∠DEF， ∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1， ∴BF=1，
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，
222
∴根据勾股定理得：EF=EB+BF， ∵EB=2，BF=1， ∴EF=
=
，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°， ∴cos∠DEF=∵EF=∴DE=
， ×
=
， ，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED， ∴△GEB∽△AED， ∴∴
=
，即GE?ED=AE?EB， ?GE=2，即GE=
．
，
则GD=GE+ED=
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 25．（12分）（2016?包头）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；
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（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； ②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求
的值．
【考点】三角形综合题． 【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF≌S△DEF，则易
得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到（
），再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
2
=
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形； ②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到
=
=，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形
的面积公式计算EF；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出
的值．
【解答】解：（1）如图①，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处， ∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF， ∴S△AEF≌S△DEF， ∵S四边形ECBF=3S△EDF， ∴S△ABC=4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=
=5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
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∴=（），即（
2
）=，
2
∴AE=；
（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处， ∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE， ∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②， 设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x， ∵四边形AEMF为菱形， ∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA， ∴
=
=
，即
=
=，解得x=
=
，CM=， =
，
在Rt△ACM中，AM=
∵S菱形AEMF=EF?AM=AE?CM，
∴EF=2×=；
（3）如图③，作FH⊥BC于H， ∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，
∴FH：NH=4：7，
设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x， ∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=， ∴FH=4x=，BH=4﹣7x=， 在Rt△BFH中，BF=
=2，
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∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3， ∴
=．
【点评】本题考查了三角形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．
26．（12分）（2016?包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）+k的形式； （2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积； （3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？ （4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
2
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【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可；
（3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；
（4）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴
∴，
∴抛物线解析式为y=﹣x+x﹣2=﹣（x﹣2）+； （2）如图1，
22
过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G， 由（1）有，C（0，﹣2）， ∵B（0，3）， ∴直线BC解析式为y=x﹣2， ∵H（1，y）在直线BC上， ∴y=﹣，
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