18．（12分）（2015?山东）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH； （2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 菁优网权版所有专题：空间位置关系与距离． 分析：（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩ GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH； 证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．可得四边形BHFE为平行四边形．BE∥HF．又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH． （II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH． 解答：（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩ GF=M，连接MH． 在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点． ∴，∴四边形CFDG是平行四边形， ∴DM=MC．又BH=HC， ∴MH∥BD，又BD?平面FGH，MH?平面FGH， ∴BD∥平面FGH； 证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点． ∴， ∴四边形BHFE为平行四边形． ∴BE∥HF． 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， ∴GH∥AB，又GH∩HF=H， ∴平面FGH∥平面ABED， ∵BD?平面ABED，∴BD∥平面FGH． （II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点， ∴GH∥AB， ∵AB⊥BC，∴GH⊥BC， 又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC． 第16页（共22页）
∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE． ∵CF⊥BC，∴HE⊥BC． 又HE，GH?平面EGH，HE∩GH=H， ∴BC⊥平面EGH，又BC?平面BCD， ∴平面BCD⊥平面EGH． 点评：本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四 边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．
19．（12分）（2015?山东）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{项和为
．
}的前n
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=（an+1）?2 考点：数列的求和． 菁优网权版所有，求数列{bn}的前n项和Tn．
专题：等差数列与等比数列． 分析： （1）通过对c=n分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论； （2）通过bn=n?4，写出Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论． 解答： ：解（1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则a1＞0， ∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd， 令cn=则cn=， n=[﹣]， ∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[﹣+﹣+…+﹣] 第17页（共22页）
=[﹣] = =， 又∵数列{}的前n项和为， ∴， ∴a1=1或﹣1（舍），d=2， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）由（1）知bn=（an+1）?212=（2n﹣1+1）?22n1=n?4n， ﹣∴Tn=b1+b2+…+bn=1?4+2?4+…+n?4， ∴4Tn=1?42+2?43+…+（n﹣1）?4n+n?4n+1， 两式相减，得﹣3Tn=4+4+…+4﹣412nn+1n=?4n+1﹣， ∴Tn=． 点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的 积累，属于中档题．
20．（13分）（2015?山东）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=点（1，f（x））处的切线与直线2x﹣y=0平行． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 菁优网版所权有．已知曲线y=f（x）在
专题：开放型；函数的性质及应用；导数的概念及应用． 分析：（Ⅰ ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1； （Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1； 第18页（共22页）
（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求． 解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+， 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a， 由切线与直线2x﹣y=0平行， 则a+1=2，解得a=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+， 令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=， 当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减， 当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增． 当x=1时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增， g（x）=的导数为g′（x）=， 当x∈（0，2），g′（x）＞0，h（x）在（0，2）递增， 当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减． 则x=2取得最大值， 令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣， T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0， 由零点存在定理可得，存在自然数k=1， 使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=其中x0∈（1，2）， 且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=则有m（x）的最大值为m（2）=． ， 点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段 函数的最值，考查运算能力，属于中档题．
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21．（14分）（2015?山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的
离心率为，且点（，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：
=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E
与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 菁优网权版所有专题：开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （Ⅰ）通过2a=4、=及a﹣c=b，计算即得结论； 222（Ⅱ）通过（I）知椭圆E的方程为：+=1．（i）通过设P（x0，y0）、=λ可得Q（﹣λx0，﹣λy0），利用+=1及+=1，计算即可；（ii）设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别将y=kx+m代入椭圆E、椭圆C的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可． 解答：解： （Ⅰ）由题意可知2a=4，∴a=2， 又=∴b=1， ∴椭圆C的方程为：+y2=1； ，a2﹣c2=b2， （Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为： （i）设P（x0，y0），=λ， +=1． 由题意可得Q（﹣λx0，﹣λy0）， ∵+=1，及=2； 第20页（共22页）
+=1，即（+）=1， ∴λ=2，即