第一章 抽样和抽样分布
1.4 子样数字特征
子样值的数字特征（子样数字特征的观察值） 1n① 子样均值x??xi
ni?121n1n22s?(x?x)?x?x②子样方差 ?i?ini?1ni?12n子样均方差sn?1n(xi?x)2??ni?121n2x?x ?ini?1*2③修正子样方差nsn21n122?(xi?x)?(?xi?nx) ?n?1i?1n?1i?1*修正子样均方差sn?1n2(x?x)??in?1i?1
n212(?xi?nx)n?1i?1
1nk?xi④子样k阶原点矩Ak?ni?11nk子样k阶中心矩Bk??(xi?x)ni?1当子样值以频数分布给出时
1l*①子样均值x??mixi
ni?1ll211*22*2mi(xi?x)??mixi?x ?②子样方差sn?ni?1ni?1子样均方差sn?*2n1l*2m(x?ii?x)?ni?121l*2mx?x ?iini?1③修正子样方差sl21l1*2*2?m(x?x)?(mx?nx) ??iiiin?1i?1n?1i?1*修正子样均方差sn?1l*mi(xi?x)2??n?1i?1
l21(?mixi*2?nx) n?1i?11l*k④子样k阶原点矩Ak??mixini?11l*kB?m(x?x)子样k阶中心矩k ?iini?1顺序统计量 定义：子样(X1,X2,?,Xn)有子样值(x1,x2,?,xn)，将数据
x1,x2,?,xn由小到
大重新排序后记为x(1),x(2),?,x(n)，将其视为随机变量(X(1),X(2),?,X(n))的观察值，则称(X(1),X(2),?,X(n))为(X1,X2,?,Xn)的顺序统计量 注：X(1),X(2),?,X(n)不独立
子样中位数及其观察值: ?Xn?1?(2)Me???X(n?1)?21?i?n1?i?nn为奇数n为偶数
子样极差:R?X(n)?X(1)?maxXi?minXi
§2 一些常用的抽样分布
2.1 ?2?分布
?2分布的定义：X1,X2,?,Xn是来自母体X~N(0,1)的一个子样，则称
222222服从自由度为n的?分布，记为：?~?(n) ?2?X1?X2???Xn
概率密度函数
fn(x)
nx?1??1x2e2, x?0 时?n?fn(x)??22?(n)
2?? x?0 时? 0，
?2分布的性质： ? ?
22D(?)?2n E(?)?n期望、方差：?~?(n)，则,
222222可加性，即：若?1~?(n1)，?2~?(n2)，且?1与?222相互独立，则有
?12??22~?2(n1?n2)
? 极限性质：设?2~?22?(n)，则对?x?R有?的标准化变量?n的分布函数
22nFn(x)满足：limFn(x)??(x).
n??从而当n充分大时，? 当n?45时, ??2?2?n近似2n~N(0,1)，??~N(n,2n).
2近似(n)?n?u?2n
?2分布的上侧分位数 定义：设?2（0，1）~?2(n)，则对于???，存在唯一实数??(n),使得
2P(?2???(n))??称实数??22????2(n)fn(x)dx??
(n)为?2的上?分位数．
备注：
? 随机变量的上侧分位数 定义：设X的分布密度为
f(x), 则对???（0，1），存在唯一实数x?,使得
P(X?x?)???
??x?f(x)dx??，称实数
x?为X的上侧?分位数．
N(0, 1)的上侧分位数
定义：设U~N(0, 1), 则对???（0， 1），存在唯一实数u?，使
P(U?u?)???(x)dx??
u???称实数
u?为U的上?分位数．
P(U?u?)?1?P(U?u?)?1??(u?)??，故：
求法：
?(u?)?1??，反查标准正态分布函数表，可得u?值.
2.2 t?分布
定义：设X~N(0,1)，Y~?2(n)，且X与Y相互独立，令T?从自由度为
XY/n，则称T服
n的t分布，记为：T~t(n)
?(n?1)n?12?t2(1?)2, ???t??? 概率密度函数fn(t)： fn(t)?nnn??()2性质： ?
t分布的极限分布是N(0,1). n很大时，若T~t(n)，则Tt1??(n)??t?(n)
近似~N(0,1).
?
? 当n
?45时, t?(n)?u?
t分布的上侧分位数 定义：设T~t(n)，则对???（0，1）存在唯一实数t?(n),使
P(T?t?(n))????t?(n)fn(x)dx??
称实数t?(n)为T的上
?分位数．
2.3 F?分布
定义：设X~?2(n1)，Y~?2(n2)，且X与Y相互独立，F?X/n1，则称F服
Y/n2的
从自由度为
(n1,n2)F分布，
n1为第一自由度、n2为第二自由度. 记为：
F~F(n1,n2)
概率密度函数
f(z)：
?n1?n2nn?n??(2)n121n21?1n1?122()z(1?z), z?0 时?n2n2f(z)??n1n2 ?()?()?22? z?0 时? 0，
性质：①F②T~F(n1,n2), 则1F~F(n2,n1);
~t(n), 则 T2~F(1,n);
1
F1??(n2,n1)② F?(n1,n2)?备注：当?较接近1时，F?(n1,n2)不能从附表4直接查到，故应查表求F1??(n2,n1)，
再用此公式计算F?(n1,n2).
2.4 抽样分布定理
单个正态母体情形
定理1 设母体X有：E(X)??, D(X)??, X1,X2,?,Xn是X的一个子样，X是子样均值，则
①E(X)??, D(X)?2?2n；
②特别，当X~N(?,?)时，X~N(?,2?2n)， ?2X??~N(0,1).
?/n定理2 X1,X2,?,Xn是来自母体X~N(?,?)的一个子样，则
?
(n?1)S*2n?2~?2(n?1)；
? ?
X与S*2n独立；
X??~t(n?1).
*Sn/n两个正态母体情形
定理3 X1,X2,?,Xn1是来自母体X~N(?1,?12)的一个子样，Y1,Y2,?,Yn2是来自母
2体Y~N(?2,?2)的一个子样，X,Y相互独立，则