1?[?niXi?nX]?i?1r1?(nX?nX)?0，故二次型Q2?QA?2的自由度为f2?r?1;
二次型Q3?(X??2)的自由度为f3?1. ?/n于是Q?Q1?Q2?Q3，且n?(n?r)?(r?1)?1?f1?f2?f3，由分解定理知：
X??2H02)~?(1)，且它们相互独Q1?2~?(n?r)，Q2?2~?(r?1)，Q3?(???/nQEH02QAH02立.
2④检验统计量F??2H0QA/(r?1)?SA??2~F(r?1,n?r)
QE/(n?r)QE/(n?r)SE2QA/(r?1)?22其中SA分别称为组间均方离差和组内均方离差。 ,SE（3）给定显著水平，求拒绝域
为使小概率事件取得恰当，先分析E(SA),E(SE).
2rniXij?Xi2E(Q)?2EE(SE)??E[??()]
n?rn?ri?1j?1?2(X?X)?ijij?1ni22?E[?n?ri?1ni?2r?2ij]?*(n?n?ri?1?2ri?1)??2
（步骤*是由于Xi~N(?,?)，? j?1定理）
2?(X?Xi)22??*2(ni?1)SXi?2~?2(ni?1)——抽样分布
rQA1E(S)?E()?E[?ni(Xi?X)2]r?1r?1i?12A
1r1r2?niE[(Xi?X)]?ni[D(Xi?X)?E2(Xi?X)]??r?1i?1r?1i?1
1r?2?2?ni[(?)?(?i??)2] ?r?1i?1nin*r1ni2r?[?(1?)???ni(?i??)2] r?1i?1ni?1r1r2?[(r?1)???ni(?i??)2]??2?1?ni(?i??)2 r?1r?1i?1i?1r（步骤*是由于D(Xi?X)?D(Xi)?D(X)?2cov(Xi,1?njXj)
nj?11r?D(Xi)?D(X)?2?njcov(Xi,Xj)nj?1
?D(Xi)?D(X)?2?2?2niD(Xi) n22ni?2????）
???2ninninnnir22)??2?1?ni(?i??)2，故当H0成立时，即：E(SE)??2，E(SAr?1i?1222E(SA)??2?E(SE)；当H0不成立时，E(SA)??2?1r?1i?1?ni(?i??)2r2?E(SE)，检验统
2SA计量F?2的值就会偏大.
SE2SA从而在F?2偏大时拒绝H0是合理的，故取拒绝域为
SE2SA W:F?2?F?(r?1,n?r)
SE
(4)一元方差分析的计算步骤 由试验数据填写下表 因子 子样 （试验值） ni 子样均值1Xi?ni ni?j?1Xijj?12n(X?X) ?(Xij?Xi)ii2ni A1X11,X12,?,X1n1n1 X1 ?(Xj?1n2n11j?X1)2n1(X1?X)2 n2(X2?X)2 A2X21,X22,?,X2n2n2 X2 ?(Xj?12j?X2)2 ? ? rni ? ? Xr nrj?1 ? ?(Xrj ? ?Xr)2ArXr1,Xr2,?,Xrnrnr nr(Xr?X)2 QA? QT???(Xij?X)i?1j?12 ?i?1r1rX??niXi ni?1ni?n QE???(Xi?1j?1rniij?Xi)2?n(Xii?1ri?X)2
其中，将Xi1,Xi2,?,Xini看成子样值，则Xi就是子样均值；而子样方差的ni倍或修正子样方差的(ni?1)倍。
列方差分析表： 来 源 离差平方和 自由度 均方离差 显著性 ?(Xj?1niij?Xi)2就是
F值 临界值 QA 因子A 误差E QE 总和T QT r?1 n?r 222 F?(r?1,n?r) /SESA?QA/(r?1) F?SA2SE?QE/(n?r) n?1 写出关于因子的影响显著与否的判断。
（5）拒绝原假设时的参数估计 ①?1,?2,?,?r,?的点估计
2?QE/(n?r). ?i?Xi,(i?1,2,?,r)；?i??j??i??j?Xi?Xj；??SE????2?2以上均为无偏估计。
②?i??j的置信区间
?i??j?Xi?Xj~N(?i??j, (?(Xi?Xj)?(?i??j)11??ninj?112?)?) ninj~N(0, 1)
又?QEH0?2~?2(n?r) ，且二者相互独立，故
T?(Xi?Xj)?(?i??j)11??ninj/QE?2/(n?r)~t(n?r)
H0即
(Xi?Xj)?(?i??j)H0T?~t(n?r)
11?SEninj以此为枢轴量。
给定置信概率1??，有t?(n?r)使
2 P{T?t?(n?1)}?1??
2于是，?i??j的置信区间为：
11?SE,ninjXi?Xj?t?(n?r)2(Xi?Xj?t?(n?r)211?SE) ninj
§4.2 二元方差分析（略）
§4.3 正交试验设计
问题：当影响试验指标的因子数超过2，且每个因子又取不同水平时，如何考察各因子及交
互作用的影响是否显著，并找出最优水平组合？
正交试验设计：是一种利用正交表安排试验的数理统计方法，仅通过局部试验就能检验出各因子及交互作用是否显著，并找出最优水平组合.
正交表 ①记法：Ln(sr)——表示最多安排r个因子，每个因子取s种水平，共做n次试验的正交
r表（事实上，s表示非重复全面试验的次数）
②正交表的特点：以L9(3)为例 列号 试验号 水平组合 1 2 3 4 5 6 7 8 9
表示最多安排4个因子，每个因子取3种水平，共做9次试验的正交试验设计方法。表中右下角方框中的数字是各因子的水平序号，给出了需要做的各次试验应取的水平组合，如要做的第4次试验应取的（2,1,2,3）这一水平组合。
特点1：任一列上各个水平出现的次数相同，均为n?9?3次.
s3特点2：任意两列上各个水平组合均出现，且出现的次数一样多，均为特点3：（
0141 2 3 4 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 n9??1 次。 s232可表示为
Ln(sr)k?1中
s,r,n间的关系）当水平数取为
s时，rr?s?s???ssk?14kL(3)中，s?3，?n?s，由此确定k，则必有. 如9s?1k2 k?1?1，故有n?s?3?9 r?4?30?31，?