U? (X1?X2)?(?1??2)近似SS?n1n22122~N(0,1)
以此随机变量为枢轴量.
③给定置信概率为1??(0???1)，则存在u?，使
2 P{U?u?}?1??
2即 P{(X1?X2)?(?1??2)SS?n1n22122?u?}?1??
2亦即
P{X1?X2?u?22S12S2???1??2?X1?X2?u?n1n222S12S2?}?1?? n1n2于是，?1??2的置信概率为1??的置信区间为
(X1?X2?u?22S12S2?, X1?X2?u?n1n222S12S2?). n1n23.5 两个正态母体均值之差的区间估计
问题：设当i?1,2时母体Xi~N(?i,?i2)，?i未知，独立地从两母体中抽取子样
是子样均值，Si是子样方差，试以概率1???(0,1)对母体
*2Xi1,Xi2,?,Xini，Xi均值之差?1??2作区间估计。
22,?2已知时
（1）?1解：①?1??2的点估计可取为X1?X2；
?i2ni)
②由抽样分布定理1知 Xi~N(?i,由两子样独立性知两子样均值独立，故 X1?X2~N(?1??2,?12n1?2?2n2)
? U?(X1?X2)?(?1??2)?21n1以此随机变量为枢轴量.
??22~N(0,1)
n2③给定置信概率为1??(0???1)，则存在u，使
?2 P{U?u?}?1??
2即P{(X1?X2)?(?1??2)?21n1亦即
??22?u?}?1??
2n2P{X1?X2?u?2?12n1?2?2n2??1??2?X1?X2?u?2?12n1?2?2n2}?1??
于是，?1??2的置信概率为1??的置信区间为
(X1?X2?u?2?12n1?2?2n2, X1?X2?u?2?12n1?2?2n2)
（2）?1,?2未知但两母体方差相等时，记?12222??2??2
解：①?1??2的点估计可取为X1?X2；
②由抽样分布定理知
T?(X1?X2)?(?1??2)S*w11?n1n2*22~t(n1?n2?2)
其中：Sw?*2(n1?1)S?(n2?1)Sn1?n2?2*21.
以随机变量T为枢轴量.
③给定置信概率为1??(0???1)，则存在t?(n1?n2?2)，使
2 P{T?t?(n1?n2?2)}?1??
2即P{(X1?X2)?(?1??2)S*w11?n1n2?t?(n1?n2?2)}?1??
2亦即
11*11*P{X1?X2?t?(n1?n2?2)?Sw??1??2?X1?X2?t?(n1?n2?2)?Sw}?1?? n1n2n1n222于是，?1??2的置信概率为1??的置信区间为
11*11*?Sw, X1?X2?t?(n1?n2?2)?Sw) n1n2n1n223.6正态母体方差的区间估计
(X1?X2?t?(n1?n2?2)2问题：设母体X~N(?,?),其中?,?2均未知,求?2的置信概率为1??(0???1)的置信区间。
2； 解: ①?2的点估计可取为S*n2②由抽样分布定理知 ?以此随机变量为枢轴量.
③给定置信概率为1??2?*2(n?1)Sn?2~?2(n?1)
2(0???1)，则存在?2?(n?1)和??(n?1)，使
1?222P{?2?(n?1)??2???(n?1)}?1??
1?22*2(n?1)Sn2???(n?1)}?1??
22P{?即 ?(n?1)?1?2?21?*2*2(n?1)Sn(n?1)Sn2???2}?1?? (3.4) 亦即 P{2??(n?1)??(n?1)22*2*2(n?1)Sn(n?1)Sn, 2). 于是?的置信概率为1??的置信区间为 (2??(n?1)??(n?1)221?2（3.4）式又可改写成
P{n?1*Sn???2??(n?1)2n?1* (3.5) Sn}?1?? 2??(n?1)1?2
于是?的置信概率为1??的置信区间为 (n?1n?1** Sn, Sn)2??(n?1)??(n?1)221?23.7 两个正态总体方差之比的区间估计
问题：设当i?1,2时，母体Xi~N(?i,?i2)，?i,?i*2i2均未知，独立地从两母体中抽取子
2?1样Xi1,Xi2,?,Xini，S是子样方差，试以概率1???(0,1)对母体方差之比2作区间
?2估计。
?12*2解：①2的点估计可取为S1*2/S2；
?2*S1*/S2~F(n1?1,n2?1) ③ 抽样分布定理知 22?1/?222? F?以随机变量F为枢轴量.
2?12/?2S/S*21*22~F(n2?1,n1?1)
③给定置信概率为1??(0???1)，则存在上侧分位数F1??2(n2?1,n1?1)和
F?(n2?1,n1?1)，使P{F1??(n22?1,n1?1)?F?F?(n2?1,n1?1)}?1??
22?12/?22即 P{F1??2(n2?1,n1?1)?S1**S22S/S*21*22?F?(n2?1,n1?1)}?1??22
亦即 P{F1??2(n2?1,n1?1)2?12S1*?2?F?(n2?1,n1?1)*}?1?? ?2S222于是，?12的置信概率为1??置信区间为
?22(F1??2(n2?1,n1?1)S1*S2*22, F?(n2?1,n1?1)2S1*S2*22)
3.8 单侧置信区间
一般定义
设母体X的分布函数F(x,?)形式已知, 其中?是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自X的一个子样，给定实数?(0???1)，
若有 P{???1(X1,X2,?,Xn)}?1??
则称(?1,??)是?的单侧1??置信区间，?1为单侧置信下限；
????若有 P{???2(X1,X2,?,Xn)}?1??
?则称(??,?2)是?的单侧求法（仅举几类情形）
1??置信区间，?2为单侧置信上限
?①正态母体方差未知时，求?的单侧置信上、下限 求?的单侧置信上限:
总体X~N(?,?2)，?,?2均未知，取容量为样方差，则由抽样分布定理知 T?以此随机变量为枢轴量。
要找?2使P(???2)?1??，应找a使P(T可取a??n的子样，X,S*2分别为子样均值和子
X??~t(n?1) *S/n?a)?1??，
S/n??t?(n?1)}?1??
???t1??(n?1)??t?(n?1), 即 P{X*亦即 P{??X?t?(n?1)S*n}?1??
S*n于是，?的单侧置信上限为X?t?(n?1)求
.
?的单侧置信下限
??要找?1使P(???1)?1??，应找b使P(T可取b?t?(n?1), 即 P{?b)?1??，
X??S/n*?t?(n?1)}?1??
亦即 P{??X?t?(n?1)S*n}?1??