①(X?Y)?(?1??2)~N(0,1)；
2?12?2?n1n2S②
S*2X*2Y/?12/?22~F(n1?1,n2?1)；
③当?12??22??2时，(X?Y)?(?1??2)~t(n?n?2)，
1211*SW?n1n2*S其中：W?2(n1?1)S?(n2?1)Sn1?n2?2*2X*2Y.
大子样情形（子样容量
定理4 ?
n?50）
n?50，
X1,X2,?,Xn是来自母体X的一个子样，
E(X)??，则
X??近似~N(0,1)；
S/n?
X1,X2,?,Xn1是来自母体X的一个子样，n1?50，E(X)??1，Y1,Y2,?,Yn2是来自母体Y的一个子样，
n2?50，E(Y)??2，X,Y相互独立, 则
(X?Y)?(?1??2)近似~N(0,1).
22S1S2?n1n21.3 最大似然估计法
当X为离散型母体
设母体
X的分布律为P(X?x)?p(x;?) 其中p(x;?)的函数形式已知，但参数
?（一维或多维）未知。若子样X1,X2,?,Xn有观测值x1,x2,?,xn，则已发生的事件
A?{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}的概率
L(?)?P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}??P{X?xi}??p{xi;?}
i?1i?1nn称为似然函数. 再求出使关于?的函数L(?)取得最大值的?作为未知参数?的最大似然估计.
?当
X为连续型母体
设母体X的分布密度为
f(x;?), 其中f(x;?)的函数形式已知，但参数?（一维或
x1,x2,?,xn，则似然函数取为
多维）未知。子样X1,X2,?,Xn有观测值
L(?)??f(xi;?)，再求使L(?)取得最大值的?.
i?1n?1.4 用Me和R估计正态母体的参数
正态母体中子样中位数Me的渐进分布
定理：设X1,X2,?,Xn是来自X~N(?,?)的一个子样，Me是子样中位数，则对于
2?x?R，有
n??limP(Me???2n近似?x)??(x)
?Me??定理表明，当n充分大时，，从而Me~N(?,)， N(0,1)~近似?2n2nE(Me)??,D(Me)??2n，
且
n越大时，Me在?附近取值的概率越大。
定理：设X1,X2,?,Xn是来自母体X~N(?,?)的一个子样，R是子样级差，则
2正态母体中子样级差R的期望和方差
E(R)?dn?，D(R)?vn?22，从而有
E(v11R)??，D(R)?(n)2?2
dndndn其中dn,vn与子样容量n有关，可查表2-1（P41）.
用Me和R估计正态母体参数的方法
①求?：当
??n很大时，可取??Me.
???1②求?： 当n?2,3,?,10时, 可取??1R； 当n?10时, 取 ??R估计
dndn?时
误差会较大，为此
（ⅰ）将子样的n个值分成k组，每组数据不超过10个； （ⅱ）求各组子样级差Ri(i?1,2,?,k)，再求平均级差
1kR??Ri
ki?1（ⅲ）取???1nR，其中n0?，即每组中数据的个数. dn0k§2 估计量的评选标准
2.1 无偏估计
定义：设?是未知参数?的估计量，若E(?)??，则称?是?的无偏估计
???若E(?)??，则称?是?的有偏估计 若limE(?)??，则称?是?的渐近无偏估计
n??????
2.2 优效估计
有效性
定义：设?1,?2都是?的无偏估计，若对于任意子样容量n有D(?1)?D(?2)，则称?1比?2有效
??????罗-克拉美（R-C）不等式(连续母体情形)
???lnf(x;?)?lnf(X;?)2)2f(x;?)dx?0 I(?)?E()??(??????则有不等式 D(?)??1 nI(?)1称为R-C下界.
nI(?)此不等式称为R-C不等式，IR?优效估计
定义:若?的无偏估计?的方差达到R-C下界, 即D(?)?IR，则称?是?的优效估计
???2.3 相合估计
? 定义: 若当n??时, ???, 则称?是?的相合估计(consistent estimator，或
??P称为一致估计). 这样，
n充分大时（即对于大子样），?与???充分接近几乎是必然的，从而可以用一
次抽样所得的?去估计
?.
? 结论：
1) 2)
2??X，??Sn分别是?,?的相合估计.
*2也是?的相合估计. ??Sn?2??222§3 区间估计
3.2 大子样对母体均值的区间估计
2设母体X的分布是任意的，E(X)??,D(X)??均存在且未知，从母体X中
抽大子样X1,X2,?,Xn,n?50，试以概率1???(0,1)对母体均值?作区间估计
解：①?的点估计可取为X；
②由中心极限定理知 X??近似?~但其中?是未知参数，注意到S是?的N(0,1) ，
22n渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有
X?? U?Sn以此随机变量作为枢轴量.
③给定置信概率为1??近似~N(0,1)
(0???1)，则存在u?,使
2 P{U?u?}?1??，即 P{X??2Sn?u?}?1??
2亦即 P{X?u?2Sn???X?u?2Sn}?1??
于是，
?的置信概率为1??的置信区间为(X?u?2SS, X?u?). nn23.3 正态母体均值的区间估计
现在考虑方差未知时正态母体均值的区间估计。 问题：母体X~N(?,?2),?2未知,求?的置信概率为1??(0???1)的置信区间。
解: ①?的点估计可取为X；
②由抽样分布定理知 T?X??~t(n?1)
*Snn以此随机变量为枢轴量.
③给定置信概率为1??(0???1)，则存在t?(n?1)，使
2 P{T?t?(n?1)}?1??，即 P{2X??S*n?t?(n?1)}?1??
2n**SnSn???X?t?(n?1)}?1?? 亦即 P{X?t?(n?1)nn22故
?**SnSn, X?t?(n?1)) 的置信概率为1??的置信区间为(X?t?(n?1)nn223.4 大子样对两母体均值之差的区间估计
问题：设母体Xi的分布是任意的，E(Xi)母体中抽取大子样
??i,D(Xi)??i2均存在且未知，独立地从两
是子样均值，Si是子样方差，
2Xi1,Xi2,?,Xini,ni?50，Xii?1,2. 试以概率1???(0,1)对母体均值之差?1??2作区间估计。
解：①?1??2的点估计可取为X1②中心极限定理知
?X2；
近似Xi~N(?,ni?i2i)
由两子样独立性知两子样均值独立，故
近似X1?X2~N(??12n11??2,?12n1?2?2n2)
? (X1?X2)?(?1??2)近似?2?2~N(0,1)
n22但其中?i是未知参数，注意到Si是?i的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有
22