第六章 微分中值定理及其应用
§1
Lagrange 定理和函数的单调性
一 、Roll中值定理与Lagrange中值定理
定理6.1 (Roll定理) 若f满足：（1）f?C?a,b? （2）f在?a,b?可导 （3）f?a??f?b?，则????a,b?,s.t,f?????0
证明：?f?C?a,b?,故f必在?a,b?有最大值M和最小值m，若M=m，则
f为?a,b?上的常值函数，结论显然；若M?m,则M与m必有其一在?a,b?内部
某点?取得，故?为必极值点，由Fermat Th知 f?????0.
例1 f在R上可导，若f??x??0无实根，则f?x?=0至多只有一实根 定理6.2（LagrangeTh） 若f满足1）f?C?a,b?，2）f在?a,b?可导，tf?????则????a,b?,s..f?a??f?b? —— Lagrange中值公式
b?af?b??f?a??x?a?即可。
b?a证明：作辅助函数F?x??f?x??f?a??Lagrange中值公式的基本形式
f?b??f?a??f?????b?a?,???a,b?f?b??f?a??f??a???b?a???b?a?,0???1 f?a?h??f?a??f??a??h?h,0???1例2 证明对一切h>-1,h?0
成立不等式
h?ln?1?h??h 1?h证明：考虑函数f?x??ln?1?x?,x在0与h之间，显然在0到h组成的闭区间上连续，开区间上得ln?1?h??ln?1?h??ln1?1??h?1?h.?h.0???1，当h>0时，1??hhh??h ①； 当-1
数.
证：?x1,x2??,设x1?x2，则f在??x1,x2?上满足Lagrange中值定理的条件.
?????x1,x2?, s.t.f?x2??f?x1??f'????x2?x1??0 ；?f?x1??f?x2? 这说明I上任意两点处f的值皆相等，故f在I上为常量函数.
?1,1arcsinx?arccosx?例 证明：在??上恒有 ??2 证明：设f?x??arcsinx?arccosx x????1,1?,则f(x)在[-1,1]上连续,在[-1,1]可导.且f'?x??而f?0???1???1?x2?1?x21???0， ?f?x??c x????1,1? ??2, ?f?x??arcsin??arccos???2
推论2 若f，g在I上皆可导，且f'?x??g'?x?，则在I上f?x?与g?x?至多只相差一个常数，即 f?x??g?x??c（c为常数）
推论3 （导数极限定理） 设f在x0的某邻域U?x0?内连续,在U0?x0?内可导，且limf'?x?存在，则f在x0可导，且f'?x0??limf'?x?
x?x0x?x0证明：按左右导数证之.?x??0??x0?,f在?x0,x?上满足Lagrange定理 条
f?x??f?x0??件，s.t. 时，?f'??? 又?x0???x，?????x0,x?, ?当x?x0x?x0?， 对上式两边取极限. ??x0设lim?x?x0f?x??f?x0??limf'????limf'????f'?x0?0?，同理可设 ??x?x??xx?x000x?x0f'??x0??f'?x0?0? ，又limf'?x?存在,记为K，故 f'?x0?0??f'?x0?0??K
?f'??x0??f'??x0??K?f'?x0??K?limf'?x?
x?x0?x?sinx2例3 求分段函数f(x)???ln(1?x)x?0x?0的导数.
解:略
定理 区间I上处处可导的函数f其导函数在I上不可能有第一类间断点.
二 、 单调函数
定理6.3 设f在I上可导，则f在I上递增（减）的充要条件是f'?x??0??0?
证明：若f为增函数，?x0??.当x?x0时，
f?x??f?x0??0，由不等式性
x?x0知limx?x0f?x??f?x0?反之，若f在I上恒有f'?x??0，则对?x1,x2??,?f'?x0??0，
x?x0且x1?x2.对f在??x1,x2?上用Lagrange中值定理，当???x1,x2?,s.t.
f?x2??f?x1??f'????x2?x1??0?f?x2??f?x1? ?f在I上增。
例4 设f(x)=x3-x, 试讨论函数f(x) 的单调区间.
定理6.4 若f在?a,b?内可导，则f在?a,b?内严格单增（单减）的充要条件是(ⅰ) ?x??a,b?. f'?x??0
(ⅱ) 在?a,b?内的任何子区间上f'?x??0
推 论 若f在区间I上可微，若f'?x??0?f'?x??0?则f在I上严格递增（递减）
例5 证明不等式 ex>x+1, x≠0.
复述定理6.4及推论
例1. 设f?D2[a,b].f(a)?f(b)?0.且?c?(a,b).s.t.f(c)?0，
tf\?)?0 证明：???(a,b).s..证明：对f在[a,b]上用Lagrange中值定理有f(c)?f(a)?f'(?1)(c?a)
?1?(a,c)，?c?a?0.f(c)?f(a)?f(c)?0，?f'(?1)?0，在[c,b]上有：
f(b)?f(c)?f'(?2)(b?c).?2?(c,b)，?f'(?2)?0，在[?1,?2]上对f'用 Lagnrange中值定理，设f'(?2)?f'(?1)?f\?)(?2??1).??(?1,?2)?f\?)?0
例2 设f在(a,b)可导,且f'单调,证明f'在(a,b)连续. 例3 设a,b?0.证明方程x3?ax?b?0不存在正根.
例4证明tanxx?xsinxx?(0,)
2? 证明：即证tanx?sinx?x2，设f(x)?tanxsinx?x2，
要证f(x)?0.x?(0,),f(0)?0，f'(x)?sec2x?sinx?tanxcosx?2x
2?sinx?sinx?2xcos2xsinx1sinx ???cosx?2x
cosxcosxcosx1?tanx(?cosx)?2xcosx??1??在(0,)中tanx?x,又?cosx?2，?f'(x)?0x?(0,)，又(0,)中
2cosx221?tanx?x,又?cosx?2，?f??x??0,0?(0,)，又f在x?0连续，
cosx2????f在?0,?是严格单增，故f?x??0.
?2?
§2 Cauchy中值定理和不定式极限
一 、 CauchyTh
设f和g满足： i)在?a,b?上都连续；ii)在?a,b?上都可导；
iii)f??x?与g??x?不同时为零 ；iv)f?a??g?b? ； 则????a,b?,s..tf????f?a??f?b? ??g???g?b??g?a?f?b??f?a? 证明：作辅助函数F?x??f?x??f?a???g?x??g?a??，易知
g?b??g?a?F在?a,b?上满足Roll定理的条件，故有结论。
注： 1）可否对f和g分别用Lagnange中值定理证之 2）几何意义 v ??u?g?x?C:?x??a,b? C?g???,f???? B?g?b?,f?b?? v?fx???? A?g?a?,f?a??
u
f?b??f?a?f????dv表弦AB的弦率，?g?b??g?a?g????du，
x?? 例1 证明：f?C?a,b?,?a?0?,f在?a,b?可导，则????a,b?,s.t.
f?b??f?a?f????bf?b??f?a???f????In 即证 ?1aInb?Ina?证明： 设g?x??Inx,于是f,g在?a,b?上一起满足Cauchy中值定理的条件，即证。
0?二 、不定式极限 ，（L?Hospital法则）
0?0 1、 型不定式极限
0定理6.6 若f,g满足：i)limf?x??limg?x??0；
x?x0x?x0ii)在点x0的某领域U0?x0?,f,g皆可导，且g??x??0, iii)limx?x0f??x? ?A(A可为实数，也可为??或?）?g?x?f?x?f??x?则lim?lim?A x?x0g?x?x?x0g??x?证明：补充定义f?x0??g?x0??0,则f,g皆在x0连续，对?x?U0?x0?，
f?x?f?x??f?x0???在?x0,x?(或?x0,x?)上用 Cauchy中值定理得：
g?x?g?x??g?x0?故当x?x0时，也有??x0 limx?x0f????, ?g???f?x?f????f??x??lim?lim?A . x?xx?x0g????0g??x?g?x?注：1）定理中若改x?x0为x?x0?,x???，x??,只要修改条件
结论也成立 ?ii?中的领域，
2）若limx?x0f??x?0仍为型不定式，可再次用L?Hospital法则
0g??x?