例2 求lim例3 求limx?01?cosx
x?x0tan2xe??1?2x?x12In?1?x2?
In?1?x2?等价与x2?x?0? 解：
ex??1?2x??原式=limx?0x2?0????0?x1?0???2?0?11?e??1?2x?2.2
2?limx?x02xx?32?lime??1?2x?x?02?1
例4 求
2、
lim1?x?x0?ex
?型不定式集极限 ?f?x??lim?g?x???； 定理： 若f,g满足?i? xlim?x0?x?x0?ii? 在x0的某邻域U??x0?内f,g可导，且g??x??0
f??x??A ?A可为定数或+?，?? ?iii? xlim?x0?g??x?则lim?x?x0f?x?f??x??lim??A x?xg?x?0g??x?证明：证A为定数的情形，由?iii?，对???0,?x1?U??x0?当x满足x0?x?x1f??x???A?时有
g??x?2???，由?ii?，对f,g在?x,x1?上用Cauchy中值定理，即
????x,x1? st.f?x1??f?x?f?????;g?x1??g?x?g????由 ???有：
f?x1??f?x???A?，
g?x1??g?x?2g?x1?f?x?f?x1??f?x?f?x1??f?x?g?x?????1 由
g?x?g?x1??g?x?g?x1??g?x?f?x1?f?x?????0,s.t当x0 f?x?f?x?f?x1??f?x?f?x1??f?x????A????A???? g?x?g?x?g?x1??g?x?g?x1??g?x?22f?x?f??x?lim?lim??A x?x0?g?x?x?x0g??x?3、 其它类型不定式极限 0?还有0??,1?,00,?0,???等型不等式，主要通过将其转化为,型来 0?处理。 例7 求lim?xlnx x?x0例8 求lim?cosx?x2 x?01eIn?cosx?解：此为1型原式=limx?0?1x2?ex?0limIn?cosx?x21?ex?0limIn?cosx?x2 1??sinx?1tanx1Incosx而lim?limcos??lim?? 2x?0x?0x2x2x?0x2 0()0?原式?e ?12sinx 例9 求lim?x?0k1?lnx （ k 为常数） 例10 求lim(x?1?x)x???21lnx 例11 lim(x?111?) x?1lnx?g?x?,x?0?例12 设f?x???x且已知g?0??g??0??0,g???0??3,求f??0? ?0,x?0?解： ?f??0??limx?0f?x??f?0?g?x?g??x?1g??x??g??0?13?lim2?lim?lim?g???x??x?0xx?0x2x2x?0x22 ?11?例13 求lim?1??2? n???nn? n ?11?解：先求lim?1??2?,此为1?型 x????xx?xIn?1??2??11??xx??1??2??e?xx?x?11?x?11?In?1??2?xx??11?而limxIn?1??2??lim?x???1?xx?x??x?0????0??1??t???x??lim?t?0In?1?t?t2?t 11?2t?2?1?t?t?lim?1 ?t?o1x1?? ?lim?1?x?2??e由归结原则，原式?e x??x?? 多项式逼近函数为其实质 一、 带有Peano型余项的Taylor公式 f在x0可微，则??A?x?o(?x) §3 Taylor公式 f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)??(x?x0) 用一次多项式f(x0)?f'(x0)(x?x0)代替f(x)，误差为(x?x0)一次项的高阶无穷小，对实际问题需要误差更高阶无穷小?为此，设 Pn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n Pn(x)在x0的各阶导数分别为 '\'''(n)Pn(x0)?a1,Pn(x0)?2a2,Pn(x0)?3!a3,?,Pn(x0)?n!an Pn\(x0)Pn(n)(x0)即a0?P(x0) ，a1?P(x0) ，a2? ，?，an? (A) 2!n!(0)n'n这说明，多项式Pn(x)的各项系数由Pn(x)在x0的各阶导数以唯一确定。 对于一般函数，设其在x0有直到阶导数，于是可以形式地放到一个多项式 f\(x0)f(n)(x0)2Tn(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n (B) 2!n!'称(B)为f在x0的Taylar多项式 Tn(x)的多项式系数 f(k)(x0)，(k?1,2,?n)称为Taylor系数， k!然后f(x)是否等于Tn(x)，若不等，误差应是多大呢？ 定理6.8 若函数在x0存在直到n阶导数，则有 f(x)?Tn(x)??((x?x0)n) 即为 f\(x0)f(n)(x0)(x?x0)2f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??((x?x0)n)2!n!'证明：Rn(x)?f(x)?Tn(x) Qn(x)?(x?x0)n 要证limRn(x)Rn(x)?lim?0 x?x0Q(x)x?x0(x?x)nn0证 由(A),(B)可知 f(k)(x0)?Tn(k)(x0) k=0、1、2?n '(n)故 Rn(x0)?Rn(x0)???Rn(x0)?0 '(n?1)又显然有Qn(x)?Qn(x)???Qn(x)?0 (n)而Qn(x0)?n! __由f(n)(x0)存在，故在点x0的某邻域U(x0)内f存在n?1阶导函数f(n?1)(x)，当 Rn(x)，连续使用n?1次L'Hospital法则 x?x0Q(x)nx?U(x0)，且x?x0时，对不等式lim0()0'0()0__(n?1)Rn(x)Rn(x)Rn(x)???lim(n?1)可证lim ?lim;x?x0Q(x)x?x0Q(x)x?x0Q(x)nnn(f(x)?Tn(x))(n?1) ?lim(n?1)x?x0Qn(x)f(n?1)(x)?f(n?1)(x0)?f(n)(x0)(x?x0) ?limx?x0n(n?1)(n?2)?2(x?x0) f(n?1)(x)?f(n?1)(x0)1?lim[?f(n)(x0)] n!x?x0x?x0?0 ? Rn(x)?f(x)?Tn(x)??((x?x0)n) 即 f\(x0)ff(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2???2!'(n)(x0)(x?x0)(x?x0)n??((x?x0)n)n!注1 若f在x0附近满足f(x)?P(x)??((x?x0)n) 其中，Pn(x)为(x?x0)的n次多项式，但Pn(x)未必是f的Taylor多项式 例 当f(x)?xn?1D(x) (n?N?) D 为Dirichlet函数，f在x?0处只有一阶导函数f'(a)?0而无其他 阶导数 xn?1D(x)?limxD(x)?0 然而limnx?0x?0x?f(x)??(xn) 若改Pn(x)?0?0x???0xn?0 就有f(x)?Pn(x)??(xn) 但Pn(x)非f的Taylor多项式，即Pn(x)不等于Tn(x) 注2 f的带有Peano型余项的次逼近多项式是唯一的，即Tn(x) 注3 当x0?0时，公式(B)变为 f(x)?f(0)?f(0)x???'f(n)(0)xnx?0(xn) n!称f为的Maclaurin公式 该记忆的几个基本函数的Maclaurin公式 xn??(xn) ① e?1?x?x???n!x2(2m?1)x3x5m?1x②sinx?x?????(?1)??(x2m) 3!5!(2m?1)!