设f在I上凸，对?x1,x2?I，当h>0充分小时，
使得x1-h，x2+h?I，于是
x1-h f(x1)?f(x1?h)f(x2)?f(x2?h)f(x2)?f(x1?h)≤≤ hhx2?x1?f可导 令h?0 设f??x1??∴f?在I上增 2?3 f(x2)?f(x1)≤f??x2? x2?x1 对f在[x1，x2]?（a，b）上用拉格朗日中值定理 f?x2??f?x1??f?????x2?x1??f??x1??x2?x1? ?f?x2??f?x1??f??x1??x2?x1? 若x2?x1，则在[x2,x1]上也用同样的结论 换x2为x，即f?x??f?x1??f??x1??x?x1? 3?1 设?x1,x2?I，令x3=λx1+（1-λ）x2 ∴x1-x3=（1-λ）（x1?x2） x2?x3???x2?x1? 由3有 f?x1??f?x3??f??x3??x1?x3??f?x3???1???f??x3??x1?x2?① f?x2??f?x3??f??x3??x2?x3??f?x3???f??x3??x2?x1? ② ??①+?1????②得 ?f?x1???1???f?x2??f?x3???f??x3??x1?x3???1???f??x3??x2?x1? ?f?x3??0?f?x3? ?f?x3??f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2? 由定义，f在I上凸 定理 6.14 设f在I上二阶可导，则在I上凸（凹）函数的充要条件是 f??(x)?0,(f''(x)?0).x?I. 例1.讨论函数f(x)?arctanx 的凸(凹)性区间. 例2. f为(a,b)内的可导凸（凹）函数，则x0?(a,b)为f的极值点的充分 条件是x0为f稳定点。 证明：设x0为f稳定点，即f'(x0)?0.对?x?(a,b) x?x0. 由定理6.13知 f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0) ?f'(x0)?0 ?f(x)?f(x0) 故，x0为f的极值点. 设x0为f的极值点，f在x0可导，由Fermat定理知 f'(x0)?0.即x0为f的稳定点. 例3 设f在开区间I内的凸（凹）函数，则f在I内每一点都存在左，右导 数. 证明：只证f在I内凸的情形. 对?x0?I.存在正数h1,h2.h1?h2. st. x0?hi?I (i?1,2) ?x0?x0?h1?x0?h2 由引理 f(x0?h1)?f(x0)f(x0?h2)?f(x0) ?h1h2令F(h)?f(x0?h)?f(x0)，则F在I增. h对?x??I且x??x0,则对?h?0，只要x0?h??I就有 f(x0)?f(x?)f(x0?h)?f(x0)??F(h) x0?x?h由于上式左端为一常数，故F(h)在h?0?上有下界，由定理3.10 F(h)当h?0?时极限存在.即 f?'(x0)存在.同理可证f?'(x0)存在. 由此可知开区间上的凸函数和凹函数皆是连续的 例4 若f在[a,b]上为凸函数，则对?xi?[a,b]，?i?0.i?1,2,?,nf(??ixi)???if(xi) i?1i?1nn??i?1ni?1. 证明：当n=2时，?xi?[0,1] ?2?1??1?(0,1) 由定义1. 命题成立. 设n=k时命题成立，即对?x1,x2,?,xk??a,b?.及?i?0. ?i??i1??k?1i?1,2?k ??i???i?1??11??1??1??i?1i?1k?1k?1k?1kkk??i?1ki?1有 f(??ixi)???if(xi) i?1i?1kk现设x1,x2?xk,xk?1?[a,b].及?i?0.i?1,2?k,k?1. ??i?1 i?1k?1?i?kk?i1??k?1?i 令?i? i?1,2?k.则??i???i?1??1 1??k?11??k?11??k?1i?1i?11??k?1f(?1x1??2x2????kxk??k?1xk?1) ?f((1??k?1)k?1x1??2x2????kxk??k?1xk?1) 1??k?1?(1??k?1)f(?x1??2x2????kxk)??k?1f(xk?1) ?(1??k?1)[?1f(x1)??2f(x2)????kf(xk)]??k?1f(xk?1) ??1f(x1)??2f(x2)????kf(xk)??k?1f(xk?1) ???if(xi) i?1k?1例5 设a,b,c均大于零，则(abc)a?b3?aabbcc. 1?0 x证明：注意函数f(x)?xlnx x?0，则f?(x)?lnx?1,f''(x)?故f在（0，?）为严格增函数，由Jensen不等式有 a?b?ca?b?c1ln()?(alna?blnb?clnc) 333a?b?c1)?(f(a)?f(b)?f(c)) 即 f(33b?c1a?b?ca?3abc3)?ln(abc) 亦即ln(3?(a?b?ca?b?c)?aabbcc 3a?b?ca?b?c 又abc?，代入上式左端得abc3?aabbcc 33 定义2 设曲线y?f(x)在点?x0,f(x0)?处有穿过曲线的切线且在切点近旁，曲 线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点?x0,f(x0)?为曲线的拐点. 例 ①y?arctanx曲线在(0,0)为其拐点 ②y?sinx拐点为(k?,0) k?Z 定理6.15 若f在x0二阶可导，则?x0,f(x0)?为曲线y?f(x)的拐点的必要 条件是f??(x)?0 证：?f在x0?0二阶可导，故必存在x0的一个邻域U(x0,?)， 假设f在U(x0,?)中一阶可导，若(x0,f(x0)为曲线y?f(x)的拐点，则f?在x0两旁增减性刚好相反，故x0必为f?的一个极值点。?f??(x0)?0 注:定理6.15中f??(x0)仅为(x0,f(x0))是拐点的必要条件并非充分条件， 如y?x4 y??(0)?0而(0,0)并非曲线y?x4的拐点 定理6.16设f在x0可导，在某U(x0)内二阶可导，若在U?(x0)和 __0__0____U?(x0)上符号相反，则(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点 注:若(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的一个拐点，则曲线点(x0,f(x0))处肯定有 __0 切线（由定义）但f'(x0)却不一定存在，如y?3x在(0,0)处