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a?bf?a?g?b??f'????f???f?b?f?a???2ba??证：即证
111?ba?2故令F?x??f?x?1 G?x?? 由Cauchy中值定理即得 xx§4 函数的极值与最值
一 、极值的判断
定理6.10 （极值的第一充要条件） 设f在x0连续，在x0的某邻域U?x,??可导，
?i? 若当x??x0??,x0?时f??x??0，当x??x0,x0???时f??x??0，则f在x0取
得极小值；
?ii?若当x??x0??,x0?时f??x??0，当x??x0,x0???时f??x??0，则f得极大值。
定例6.11 （极值的第二充要条件）
在x0取
设f在x0的某邻域U?x,??内一阶可导，在x?x0处二阶可导，且
f??x0??0f???x0??0
?i? 若f???x0??0，则f在x0取极大值； ?ii?若f???x0??0，则f在x0取极小值。
证：由条件，f在x0的Taylor分式为：
f?x??f?x0??f??x0??x?x0???f?x0??f???x0?22?x?x0??o?x?x0? 2??f???x0?22?x?x0??o?x?x0? 2!???f???x0??2?f?x??f?x0????o?1???x?x0? ?f???x0??0 而o?1?是x?x0的
?2!?
?f???x0??f???x0??o?1??的符号由无穷小，于是当x?x0充分小时，?的符号确定。
2!?2!??f???x0??f???x0??o?1??与 即?0?????，当x?U?x0,???时?同号； 2!2!?? ?当f???x0??0时f?x??f?x0?x?U?x0,??即，f在x0取得极小值。 x?U?x0,??即，f在x0取得极大值。
当f???x0??0时f?x??f?x0?例1 求f?x???2x?5?3x2的极值点与极值。 例2 求f?x??x2?432的极值点 x4322x3?432?0 解：?x?0 令 f??x??2x?2?xx2设 x?6 （此时可用Th6.10）
862?4?0 432432?108。 由Th6.11知f在x?6取极小值f?6??36?6Th6.12 （极值的第三充分条件）
又 f???x??2?862?x3f???6??2?设f在x0的某邻域内有直到n?1阶导函数，在x0处n阶可导，且
f?k??x0??0?k?1,2?n?1? 而 f?n??x0??0 则：
?i? 当n为偶数时，f在x0取极值，且f?n??x0??0时取极大值，f?n??x0??0取极
小值；
?ii?当n为奇数时，f在x0不取极值。
例3 求f?x??x4?x?1?的极值
解：令 f??x??4x3?x?1??x4?3?x?1??x3?x?1??7x?4??0
得稳定点 x?0x?1x?232234 72 f???x??3x2?x?1??7x?4??2x3?x?1??7x?4??7x3?x?1?
?x2?x?1???3?x?1??7x?4??2x?7x?4??7x?x?1??? ?6x2?x?1??7x2?8x?2?
f???0??f???1??0?4??4??3??163214?f???6?????????? ?7??7??4??777?2?4?f??为极小值 ?7?又 f????x??6x?35x3?60x2?30x?4? 有 f????x??6f????1??6?35?60?30?4??0 ?f????1?无极值
f?4??0???96 ?f?0?为极大值
4 f???x??24?35x3?60x2?30x?4?46912 f(0)?0 f()??
7823543注: 定理6.12仍是充分条件。
??x12?例 设 f?x???e??0?x2x?0x?0
1e?0t?1?f??0??lim?limx?tlim?t??t2?0 当x?0时 1?x?0x?0x?e2?xe?f??x??e?1x211?1??2?x2?1??x2?1?
表示 1???2??3e?P?e 这儿P1??
?x?x?x??x?
当x?0时f的一阶导函数是e?1x2与
1的一个多项式的积， x1??1??x2?Pn?1?e设 f???x???n?1?x???0?1?1??x2Pn?1??e?0n?x? 则：f???0??lim
x?0x故?n?N?f?n??0??0 但f?0?为极小值。
二、最大值与最小值
最值只可能在区间端点,极值点取得:极值点是稳定点或不可导点
?15?例4 求f?x??2x3?9x3?12x在??,?上的最值
?42??15??15?解： ?f???,?，故f在??,?必有最值
?42??42?
?2?x2x?9x?12???? f?x??x?2x2?9x?12????x?2x2?9x?12????1?x?04 50?x?21?2?6x?18x?12??x?0??4?f??x?????6x2?18x?120?x?5??2
1??6x?1x?2??x?0??????4???6?x?1??x?2?0?x?5??2f??0?0??12求出： f?1?f?2?f??0?0???12?f??0?不存在。
f?0??1?f????4??5?f?? ?2??5?知：f?1?最小值为0，f?1??f???5 为最大值。
?2?§5 函数的凸性与拐点
定义1 设f为定义在区间I上的函数．若对任意两点x1,x2和任意的实数
??(0,1)，总有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?
则称f为I上的凸函数．反之，若总有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2? 则称为I上的凹函数．
若上面二不等式改为严格不等式，则f相应地分别称为严格凸函数和严格凹函数．
注：若f在I上凸，则-f在I上凹显然．
引理 f为I上的凸函数的充分必要条件是：对与I上的任意三点x1?x2?x3总有
f(x3)?f(x2)f(x2)?f(x1)≤
x2?x1x3?x2
证：“必要性” 记λ=∵f在I上凸
x3?x2，则x2??x1??1???x3（易验证） x3?x1?f?x2??f??x1??1???x3???f?x1???1???f?x3?
=
x3?x2x?x f?x1?+21 f?x3?
x3?x1x3?x1??x3?x1?f?x2???x3?x2?f?x1???x3?x1?f?x3?
??x3?x2?f?x2???x2?x1?f?x2???x3?x2?f?x1???x2?x1?f?x3? ??x3?x2??f?x2??f?x1????x2?x1??f?x3??f?x1?? ?f(x3)?f(x2)f(x2)?f(x1)≤ （*）
x2?x1x3?x2“充分性”
在I上任取两点x1?x3，在?x1,x3?上任取一点x2??x1??1???x3 ???0,1? 于是??x3?x2，由条件（*）成立．
x3?x1逆推即可得f??x1??1???x3???f?x1???1???f?x3? ∴f在I上凸 同理可得
f在I上凸??Χx1,x2,x3?I，且x1?x2?x3，有 ?f(x3)?f(x1)f(x3)?f(x2)f(x2)?f(x1)≤≤
x3?x1x2?x1x3?x2定理6.13 设f在区间I上可导，则以下论断互相等价
1.f为I上凸函数
2.f?为I上的增函数
3.对I上任意两点x1,x2，有f?x2??f?x1??f??x1??x2?x1? 证：1?2