专题14 阅读理解问题
1．（2017河北省）对于实数p，q，我们用符号min?p,q?表示p，q两数中较小的数，如min?1,2??1，
22因此min?2,?3? ；若min(x?1),x?1，则x? ．
????【答案】?3；2或-1．
考点：1．新定义；2．实数大小比较；3．解一元二次方程-直接开平方法． 三、解答题
2．（2017四川省达州市）设A=（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；? 解关于x的不等式：
a?23a???a???．
1?2a?a2?a?1?x?27?x??f?3??f?4????f?11?，并将解集在数轴上表示出来． 24
【答案】（1）【解析】
1 ；（2）x≤4． 2a?a试题分析：（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；
（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．
1a?2a(a?1)?3aa?11a?2a2?2aa?2??试题解析：（1）A= ====； ?2222(a?1)a?1(a?1)a?1(a?1)a(a?2)a(a?1)a?a（2）∵a=3时，f（3）=∴∴
111111???，a=4时，f（4）=，a=5时，f（5）=，? 32?31242?42052?530x?27?xx?27?x111 ??f?3??f?4????f?11?，即??????24243?44?511?12x?27?x111111x?27?x11x?27?x1?????????，∴???，∴??，解得，x≤4，∴243445111224312244原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示：
．
考点：1．分式的混合运算；2．在数轴上表示不等式的解集；3．解一元一次不等式；4．阅读型；5．新定义．
3．（2017四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：PP12?还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x??x2?x1?2??y2?y1?他2x1?x2y?y2，y?1． 22
（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为 ；
②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标： ； 拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y?4x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、3x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）①61；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）【解析】
试题分析：（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；
（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；
85． 5
试题解析：
（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ=
x2?x1x?x1x1?x2，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+2= ，222PQy?y211?P2Q2 =1，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为
22x=
x1?x2y?y2，y=1； 2222（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN=(2?3)?(?1?5)=61，故答案为：61；
②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交
x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，又对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，
22∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴x?(x)=2，
4343解得x=﹣
6668（舍去）或x=，∴R（，），∴ 5555x?26y?1868，∴N（2，﹣1），设M（x，y），则=， =，(2?)2?(n?)2?n，解得n=1，∴P（2，1）
252555解得x=
211211221128585，y=，∴M（，），∴MN=(2?)?(?1?) =，即△PEF的周长的最小值为． 55555555
考点：1．一次函数综合题；2．阅读型；3．分类讨论；4．最值问题；5．探究型；6．压轴题． 4．（2017山东省枣庄市）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=
p． q例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=
3． 4（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）【解析】
试题分析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
2
3． 4
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
试题解析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）=
2
n=1； n（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：
15，26，37，48，59；
32163133211，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，513844513375937593∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
4（3）F（15）=
考点：1．因式分解的应用；2．新定义；3．因式分解；4．阅读型．
5．（2017山东省济宁市）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线y?33（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点． x（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标； （3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）P（【解析】
试题分析：（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作
23333，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在, M（3，3），N（23，0）． 4343PD⊥x轴于D，则tan∠POD=
MN =3，求出∠AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO=90°，由相似三ON