迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题． （2）分两种情形探究即可解决问题．
试题解析：问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°，∵AE=DG，∴四边形AEGD是矩形，∴S△HGE=
111S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC． 222
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣
．
理由：∵=
=
12四边形EFGH，=
+2
四边形EFGH =+
﹣2=S12+
+
，
﹣
=
12，，∴2S
四边形
12=2
+2
，∴SEFGH+2，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣
﹣
2
2
2
．
=25﹣2×
迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S矩形ABCD，∴
11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D1=HF﹣5=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=
3，∴2EG2=A1B12+52=
109109，∴EG=． 42
（2）∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD+
，∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大． 此时矩形A1B1C1D1面积=1×（10﹣2）=10?2
②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大． 此时矩形A1B1C1D1面积=21=2，∵2＞10?2，∴矩形EFGH的面积最大值=
17． 2
考点：1．四边形综合题；2．最值问题；3．阅读型；4．探究型；5．压轴题．
8．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x?5x?2?0，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
2
（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）； （2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x?5x?2?0的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax?bx?c?0 （a≠0，
22b2?4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点
P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A（0，1），B（﹣等；（4）m1?m2??【解析】
试题分析：（1）根据“第四步”的操作方法作出点D即可；
bc1b，）或A（0，），B（﹣，c）aaaabc，m1m2?n1n2=． aa
2（3）方程ax?bx?c?0（a≠0）可化为x?2bcx??0，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标； aa（4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得
n1m?x，进而得到 ?2x?m1n2bcx??0，最后比较系数可得 aax2?(m1?m2)x?m1m2?n1n2?0，再根据ax2?bx?c?0，可得x2?m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系．
试题解析：（1）如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴
AOOC1m??，∴m（5﹣m）=2，∴m2?5m?2?0，∴m是方程x2?5x?2?0的实数根； ，∴CDBD5?m2
（4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得
n1m?x，上式可化为?2x?m1n2x2?(m1?m2)x?m1m2?n1n2?0，又∵ax2?bx?c?0，即x2?bcm1?m2??，m1m2?n1n2=．
aabcx??0，∴比较系数可得aa
考点：1．三角形综合题；2．一元二次方程的解；3．相似三角形的判定与性质；4．阅读型；5．操作型；6．压轴题．
9．（2017浙江省绍兴市）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． （1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°． ①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长． ②若AC⊥BD，求证：AD=CD；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边
AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
【答案】（1）①2；②证明见解析；（2）5或6.5． 【解析】
试题分析：（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；
②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；
试题解析：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC=12?12=2． （2）如图1中，连接AC、BD．
∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件． 若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5． ②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴BF=PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．
考点：1．四边形综合题；2．分类讨论；3．新定义；4．压轴题．
10．（2017重庆市B卷）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：
k=
F(s)，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值． F(t)5． 4【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）【解析】
试题分析：（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．
?x?1?x?2?x?3?x?4?x?5?x?6∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴?或?或?或?或?或?．
y?5y?3y?1y?6y?4y?2??????∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3． ∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5，∴??x?1?x?4?x?5?F(s)?6?F(s)?9?F(s)?10或?或?，∴?或?或?，
?F(t)?12?F(t)?9?F(t)?8?y?6?y?3?y?2∴k=
5F(s)1F(s)F(s)5=或k==1或k==，∴k的最大值为．
4F(t)2F(t)F(t)4考点：1．因式分解的应用；2．二元一次方程的应用；3．新定义；4．阅读型；5．最值问题；6．压轴题．