角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=答案；
（2）作ME⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=23，直线OM的解析式为y=333，OD=，PD=，即可得出
4243x，ON=2，∠MOH=30°，分两3种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=
1ON=1，求出P的纵坐标即可； 2②求出MN=(3)?1=2，由相似三角形的性质得出可；
22PNMN23?，求出PN=，在求出P的横坐标即ONMO3
（2）作ME⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0），∴OM=3?(3) =23，直线OM的解析式为y=223x，3ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，OQ=
1ON=1，∵P的2横坐标为1，∴y=②如图4所示：
333×1=，∴P（1，）； 333由勾股定理得：MN=(3)?1=2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴
22PNMNPN2??，即，ONMO223解得：PN=
2323232333，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解得：x=2，∴P（2，）； 333333233）或（2，）；
33综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（3，3），N（23，0）；理由如下：
∵M（3，3），N（23，0），∴OM=23=ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△ABC的内部，∴∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
考点：1．反比例函数综合题；2．阅读型；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 6．（2017江苏省盐城市）（探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示） 【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积． 【答案】【探索发现】
4，木匠31ab；【拓展应用】；【灵活应用】720；【实际应用】1944． 24
【拓展应用】：由△APN∽△ABC知
PNAEa?，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由SBCADh矩形PQMN=PQ?PN═
ahah?(x?)2?，据此可得； h24【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=
4BH=72，3继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得． 试题解析：【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=
11BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，22则
S矩形FEDBS?ABC11BC?AB11EF?DE22 ===，故答案为：；
1122AB?BCAB?BC22【拓展应用】
PNAEPNhP?Qa?=，即，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ?PN=xBCADahhaa2ah2ahhabab（a﹣x）=?x?ax =?(x?)?，∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；
hhh24244∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴【灵活应用】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△
AEF和△HED中，∵∠FAE=∠DHE，AE=AH，∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI=
1（AB+AF）=24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，2过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为答：该矩形的面积为720；
11×BG?BF=×（40+20）×（32+16）=720，22
【实际应用】
4，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，31EH444且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，
2BH333如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=
BE=EH2?BH2=90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为
1BC?EH=1944cm2． 42
答：该矩形的面积为1944cm．
考点：1．四边形综合题；2．阅读型；3．探究型；4．最值问题；5．压轴题． 7．（2017江苏省连云港市）问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点
E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得
到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S的数量关系，并说明理由． 迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，
． 之间
HF=29，求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边
BC、CD上的动点，且FG=10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．
【答案】问题呈现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD；实验探究：2S四边形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1；迁移应用：（1）
EG=10917；（2）．
22【解析】
试题分析：问题呈现：只要证明S△HGE=
形BEGC111S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可得S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩222；
四边形EFGH实验探究：结论：2S=
=S矩形ABCD﹣，
=
．根据=
12，
12， =
1212，即可证明；