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??????满足条件??、?????1， 5如果算符??2???2??， ????2?求证：??3???3??2， ????3????????左乘之得 ????1，以?证] 利用条件???????2?? ????????1)?????2?? ?????则有 (??2???2??。 ????2?最后得 ??左乘上式得 再以????2???3??2 ?(??2???2??2， 即?????2????)?2???3???3??2 ????3?则有 ????i?d 的本征值和本征函数。 L7（10分）求角动量z分量 zd?解：
d? Lz?(?)??i??(?)?lz?(?)d?
il? ?z解得：?(?)?ce
其中c是积分常数，亦可看成
最后得
?3???3??3??2 ??归一化系数。
波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即： ?(?)??(??2?)
il?il(??2?) z??z
il2?
?z
2?lz 于是?2?mm?0,?1,?2,??
?lz?m?m?0,?1,?2,?
求归一化系数
2? |?|2d?0
2? ?c2d?0
?2?c2?1
1 ?c?2?
最后，得 Lz的本征函数
?ce?cee?1??
9
?lz?m?????m(?)??1im?e2?m?0,?1,?2,?
10在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态
波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
?2d2 ??(x)?U(x)?(x)?E?(x) ①
2?dx2 将式中的x以(?x)代换，得
?2d2 ??(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ②
2?dx2利用U(?x)?U(x)，得
?2d2?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③ ?22?dx 比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x??x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③，
? ? (?x)?c?(x) ④
由③再经?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ? ? (x)?c?(?x) ⑤
④乘 ⑤，得
?(x)?(?x)?c2?(x)?(?x) 可见，c2?1 c??1
当c??1时， ?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称， 当c??1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称，
当势场满足 U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称 11一粒子在一维势场
??，x?0? 0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程
?2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ?2mdx2 在各区域的具体形式为
?2d2 ??1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ① Ⅰ：x?0 2mdx2?2d2?2(x)?E?2(x) ② Ⅱ： 0?x?a ?2mdx2?2d2 ??3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③ Ⅲ：x?a 22mdx由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须
?1(x)?0