?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为d2?2(x)dx2?2mE?2?2(x)?0
令k2?2mE?2，得 d2?2(x)dx2?k2?2(x)?0 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
?2(0)??1(0) ⑤
?2(a)??3(a) ⑥
⑤ ?B?0 ⑥
?A?0?sinka?0 ?ka?n? (n ? 1, 2, 3,?) ∴?n?2(x)?Asinax 由归一化条件 ??(x)2dx?1 ?得 A2?asin2n?0axdx?1 a由
??bsinmax?sinn?axdx?a2?mn ?A?2
a
??2(x)?2asinn?ax ?k2?2mE?2
?Asinka?0
?En??2?22ma2n2 (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。
对应于En的归一化的定态波函数为
i?2n???Entsinxe, 0?x?a? ?n(x,t)??a a? 0, x?a, x?a?
12设t=0时，粒子的状态为
?(x)?A[si2nkx?1s] 2cokx求此时粒子的平均动量和平均动能。
1解：?(x)?A[sin2kx?1 [12coskx]?A2(1?cos2kx)?2coskx] ?A[1?co2skx?cokxs] 2Ai2kxikx[1?1?e?i2kx)?1?e?ikx)] 2(e2(e2 ? ?A2??i0x1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx1 [e?2e?2e?2e?2e]?22??2k? ?2k? k? ?k? 可见，动量pn的可能值为0 2pn2k2?22k2?2k2?2k2?2 动能的可能值为0 2???2?2? 对应的几率
?n应为
A2A2A2A2A2( )?2?? 416161616 11111( ) ? A2?? 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
A2A2A2?4?)?2????2?? 1???n?(4162n ∴ A?1/??
∴ 动量p的平均值为 p??pn?nnA2A2A2A2?0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???0161616162pnp2 T????n
2?n2?
2k2?21k2?21 ?0???2???2
?82?85k2?2 ?
8? # 13 一维运动粒子的状态是
?Axe??x, 当x?0?(x)? ? 0, 当x?0?其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由
1???(x)dx??A2x2e?2?xdx
??0?2? ?14?3A2
∴A?2?3/2
?(x)?2?3/2xe?2?x (x?0) ?(x)?0 (x?0) c(p)???12????e?ikx?11/23/2?(x)dx?()?2??xe?(??ik)x?(x)dx
??2??2?31/2x)[?e?(??ik)x ?(2????ik?0?1?e?(??ik)xdx ???ik??2?31/2x2?31/2)??() ?(22??2??(??ik)1p(??i)2?
动量几率分布函数为
2?3 ?(p)?c(p)???21p22(??2)?2??2?3?3?1 2222(???p)??(x)dx??i??4?3xe??x (2) p???*(x)p?????d??x(e)dx dx ??i?4?3??x(1??x)e?2?xdx
??? ??i?4???(x??x2)e?2?xdx
3??? ??i?4?3?( ?0
14?2?14?2)
14在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
?2n?sinx, 0?x?a? ?(x)?a a? 0, x?0, x?a?n2?2?2 En? (n?1， 2， 3， ?) 22?a 动量的几率分布函数为?(E)?Cn Cn?2?????(x)?(x)dx??sin0*an?x?(x)dx a 先把?(x)归一化，由归一化条件，
1???(x)dx??A2x2(a?x)dx?A2?x2(a2?2ax?x2)dx
??00?2aa ?A22?a0(a2x2?2ax3?x4)dx
5a5a5a52a?)?A ?A(? 32530 ∴A?a30 5a ∴ Cn?? ?0230n??sinx?x(a?x)dx aaa5aa215n?n?2[axsinxdx?xsinxdx] ??300aaa
215a2n?a3n?a2n??[?xcosx?sinx?xcosx322n?aan?aan? ?2an?2an?xsinx?cosx]2233aan?n?023a
?415n[1?(?1)] 33n?2 ∴ ?(E)?Cn?240n2[1?(?1)] 66n??960 3， 5， ??66，n?1， ??n?
?0，n?2, 4, 6, ?? 2?p??(x)dx??(x)?(x)dx E???(x)H?0??2??a ??a030?2d2x(x?a)?[?x(x?a)]dx
2?dx2a530?2 ??a55?2
?
?a215
?a030?2a3a3x(x?a)dx?(?) 523?a