28.一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场?作用。设电场?沿x方向：
（1）用微扰法求能量至二级修正；
（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。
[解]（1）荷电为e的线性谐振子由于电场?作用所具有的能量为e?x，因为?是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量H0相比较，显然有
?H0??e?x
令 H??e?x，显然，H?可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。
线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是
2p1????H?? H???2x2?e?x?H02?2无微扰时，线性谐振子的零级波函数是
?m??2m!??m12e??2x22Hm(?x)
当体系处于第m态时，考虑微扰的影响，则能量变为
H?0???0mn0 Em?Em?Hmmm?nEm?En*???m(x)e?x?m(x)dx 其中 Hmm2??e?2??22??22?2NmeH(?)?eHm(?)d? m??e?2???2NmeHm(?)?Hm(?)d? ??2?e??*(?)??m(?)d? 其中???x?2?m???x
利用递推公式
1Hm?1(?)?mHm?1(?) 2e?2??2?1???2Nm故 HmmeH(?)H(?)?mH(?)d? mm?1m?1????2???Hm(?)???0 利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即Hmm这表明能量一级修正为零。
下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元
??Hmme??2NmNn?e??Hm(?)Hn(?)d?
2?1???2 NNeH(?)H(?)?nH(?)d?mn?mn?1n?12???2??e??1??2??22?2??NmeHm(?)NnHn?1(?)e2d? ??2??n?Nme??22e?Hm(?)NnHn?1(?)e??22d?
???e??1n?**2(n?1)?(?)?(?)d???(?)?(?)d?? mn?1mn?12?????22n?而
?e??n?1n???m,n?1m,n?1? 2???22?mm?1??2??||Hmne2?2???22 ??0???020000???Em?Em?1Em?Em?1?m?nEm?En????1?1?00Em?Em????(m?1?)????? ?1??m?2?2?1?1?00Em?Em?m????(m?1?)?????? ???122??最后得能量的二级修正为
?mm?1????Hmne??2e2?2?e2?22 ?2????????002E?E???2????2??m?nmn????222故在准确到二级修正的情况下，总能量为
1?e2?2? E??m?????22?2???（2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。
222222????p??p??e?e?2??H?x?e?x??x???? 2?22?22?????2?????2??22e2?2pe2?2? ??x???H0?2?22??22??2e?其中 x??x? 22??定态薛定谔方程是
???H??H00而 H0?0?Em?0
e2?2??Em? 22??令 ???0，则得
?0e2?2???Em?2??2???0?Em?0 ??e2?2?1?e2?20故 Em?Em? ??m?????2??2?2?2??2这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。
?是电子的自旋算符，求 28若S?S????a. SxzSxSySx=?
??S??? b. S2??52szsysx?i() a. sxszsxsysx ??szsxsysx??42 或
5分
?21???(sysz?szsy)sx?i()5
422??? b. s?s?i(sysz?szsy)?j(szsx?sxsz)?k(sxsy?sysx)?i?s29
307.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有
两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子
波函数构成？
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为?i，?j，则体系可能的状态为
?1??i(q1)?i(q2)?i(q3)
?2??j(q1)?j(q2)?j(q3)
?3?13[?i(q1)?i(q2)?j(q3)??i(q1)?i(q3)?j(q2)??i(q2)?i(q3)?j(q1)]
?4?13[?j(q1)?j(q2)?i(q3)??j(q1)?j(q3)?i(q2)??j(q2)?j(q3)?i(q1)]
??H??H??,在H?表象中 31（15分）一量子体系的哈密顿算符H00?400??0k0?????k00? ???020? ，H H???????000?001???? 其中常数k??1，
（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；
（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较。