25.（a）粒子在二维无限深方势阱中运动，
V???0,0?x?a,0?y?a??,其它区域 试写出能级和能量本征函数（能量最低的两个态）；
1）
（
（b）加上微扰 H???xy （2） 求最低的两个能级的一级微扰修正。
解：（a）能级和能量本征函数为
E(?)n?n???????ma??n????n?,?n?,n???,?,?,? （3）
(?)?nsinn????an??xn?ysin?,(阱内,下同) （4） aa(?)基态是非简并的，能级E??，本征函数为
(?)??????x?ysinsin （5） aaa(?)第一激发态是二重简并的，能级E??,本征函数为
(?)????(?)?????x??ysinsin???aaa （6）
???x?y?sinsin???aaa(1)(b)基态能级的一级修正等于H?的平均值，即 E11??4a2 （7）
(1)第一激发态 E12???0.2825?1024??22 ??a2?1??a1?0.13??a???44?81??4?0.2175?（8）
结论：在微扰作用下，基态能级升高?a时分裂为二，裂距为0.065
?，第一激发能级的重心也升高?a??，同
??a? 。
?质量为m的粒子处于位势 V?x,y,z????00?x?a,0?y?a和0?z?a
其他?????bxy，试求第一激发态能量的 中。假设它又经受微扰H一级修正。六. (16分)
3分 粒子的能量为
?2?22ma222(n?n?nxyz) 2 第一激发态为 1 1 2
1 2 1 2 1 1
0E1??2?22ma2(1?1?4)?3?2?2?a2，
5分
?2??2?r1?()32sinxsinysinz
aaaa?2?2??r2?()32sinxsinysinz
aaaa?22???r3?()32sinxsinysinz
aaaaa22a2?2???1H1?()?xsinxdx??ysinydy a0aa0?a2xdx? ?xsin a40a222a2a21?1H?1?()???b?ba2
a444
1H?2?1H?3?0
a22a2?12?2H?2?()b?xsinxdx??ysin2ydy?ba2 aaa400a22a?2?2??2H?3?()b?xsinxsinxdx??ysinysinydy
aaaaa00228a28a24ba2?64?()b(?)(?)?
224a9?9?81?a22a?122? 3H?3?()b?xsinxdx??ysin2ydy?ba2
aaa40012ba?E14 4分 于是有：
012ba?E1464?4ba281?4064?4ba281?400?0
12ba?E14 2分 ?
E11?12ba 41 2分 E2,31264?4ba2164?414422?ba??(?)ba?[?()]ba
444481?43?81?
26用试探波函数，
估计一维谐振子基态能量和波函数
归一化
A(?e??202xadx??e?2xadx)?A2a?1， A?0?1 （2分） a2xa
E(a)?????2?22am???e?xa?1?d1x?a22[(?)e]dx??m?xedxax??2?xaxdx
??1(?)?e2ama???2?(2?(x)e?xa1?ea?xa11)dx?m?2a2
22
11212(2??a)?m?a 2a222am122?m?a （6分）（动能计算错扣3分） 22am4?2
? 另一种求法
E(a)?1?e2am?????xapadx??2xe2xa?x1m?2a2 4*?xa
1?1x?e?(?i?2am??ax??2??2xa?1x)(?i?eax1)dx?m?2a2
4
2a3m???2?e1dx?m?2a2
4 ?122?m?a 22am4' E(a)12?224?3?m?a?0, a?22 （3分） am2m???2?m2?212?212 Emin??m???? （3分）
2222m2?42m?
??1ea?xa,
a2?2? （结果错扣3分） m??，?0表象中的表示27设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为H它在H为
? E0 ?E?? H????E E??，
0?????的本征值和本征态； A. 求H?1??B. 若t=0时，粒子处于?1，它在H0表象中的表示为??0??。试求出
??t > 0时的粒子波函数；
E0?E?0, ? E??E0??E A.
?EE0?E
E??E0??E， u??1?1??? （2分） ??2?1?1?1??? E??E0??E, u?? （2分） ??2??1??1?11?????au?au?u?u? （4分） B. (0)???????22?0?
1?1??i(E0??E)t??(t)??e??2?1??e?iE0t???1?1??i(E0??E)t????e ??2??1?
cos?Et?????isin?Et??? （4分） ??