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16氢原子处在基态?(r,?,?)? (1)r的平均值；
13?a0e?r/a0，求：
e2 (2)势能?的平均值；
r解：(1)r??r?(r,?,?)d?? ?43a0213?a0???00?2??0re?2r/a0r2sin? drd? d?
??0r3a?2r/a0dr
?
?0xne?axdx?
n! an?143!3?3?a0 a0?2?42??a???0?e2e2(2)U?(?)??3r?a0e2??3?a0
???00?2??01?2r/a02ersin? drd? d?r???00?2??0e?2r/a0rsin? drd? d?
4e2??3a0??0e?2r/a0r dr4e21e2??3??2a0?2?a0??a???0?17
限高势阱中的粒子
质量为m的一个粒子在边长为a立方盒子中运动，粒子所受势
能由下式给出：
??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V??
???,others（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法
（??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?）求系统能量本征值和归一化波函数；
?22解：（1）定态薛定谔方程：????x,y,z??E??x,y,z?
2?分离变量：??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?，E?Ex?Ey?Ez
??2d2X?x???ExX?x??X?x????22?dx??2????2dY?y??；??EYy????Y?y??y22?dy????2d2Z?z?????Z?z???EzZ?z?22?dz????2?m?x?sin??a?a?2?n?y?sin??a?a?2?l?z?sin??a?a???2?22?Ex?2?a2m???2?22?n ；?Ey?22?a???2?22l?Ez?22?a???2???x,y,z?????a?3/2?m?x??n?x??l?x?sin??sin??sin?? ?a??a??a?Emnl?2?2222，m,n,l?1,2,3,... ?m?n?l??22?a3?2?2基态：E0?2E111?，基态波函数：
?a2???A?r1,s1z;r2,s2z???111?x1,y1,z1??111?x2,y2,z2??A??x???y???z???x???y???z??2????sin?1?sin?1?sin?1?sin?2?sin?2?sin?2? ?a??a??a??a??a??a??a?1??????s1z????s2z?????s1z????s2z???212218氢原子处于态??r,?,???R43Y31?R41Y10?R41Y1?1中，问
333 （1）??r,?,??是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由； （2）在??r,?,??中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？ 19求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
3解：基矢：un(x)?2n?sinx aa?2?2n2 能量：En?
2?a2 对
角
元
：
xmm??a02xsa2m?axi? d n a2x1ucosnu?sinnu?c 2nn2am?n?x)?x?(sin)dx 当时，m?n xmn??(sina0aa?ucosnudu?
?1a?(m?n)?(m?n)?xcosx?cosa?0?aa??x?dx?a1?a2(m?n)?ax(m?n)???[cosx?sinx]22a?(m?n)?a(m?n)?a0?a?a2(m?n)?ax(m?n)? ?[cosx?sinx]? 22a(m?n)?a(m?n)?0????a11?2(?1)m?n?1???2?(m?n)2??(m?n)???4mnm?n(?1)?12222?(m?n)a??a0?un(x)dx??i??pmn??um(x)p??i*2m?dn?sinx?sinxdxaadxa2n??am?n?sinx?cosxdx2?0aaan??a?(m?n)?(m?n)???i2??sinx?sinaaa0?
?x?dx??x? ?0an???a(m?n)?a(m?n)??i2?cosx?cosa(m?n)?aa?(m?n)??11?m?n??1]?(m?n)(m?n)?(?1)??i2mn??(?1)m?n?12(m?n2)a?in??aa2?
????
?sinmucosnud?u?
cos(m?n)ucos(m?n)u??C 2(m?n)2(m?n)