湖南科技大学本科生毕业设计（论文）
第二章 函数极限
2.1、运用函数极限的定义
定义
0'?1?(函数极限的???定义) 设函数f?x? 在点x0 的某个空邻域
,存在正数?(??'),使得当
U(x0;?)内有定义，A为定数.若对任给的??00?x?x0??时有
f(x)?A??,
则称函数f(x)当x趋于x0时以A为极限，记作
limf(x)?A 或 f(x)?A(x?x0).
x?x0例1 用函数极限定义证明:
limx?3x?2x?22x?2?1.
证：由
x2?3x?2x?2?1?x2?4x?4x?2
??x?2?2x?2?x?2
，取??? ， 则当0?x?2?? 时,就有 ???0
由函数极限???定义有
limx?3x?2x?22x?3x?2x?22?1??
x?2?1.
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2.2、利用极限的四则运算性质
函数极限的运算性质如下: 若 limf(x)?A，limg(x)?B.
x?x0x?x0?1? 1) lim?f(x)?g(x)?? limf(x)?limg(x)?A?B;
x?x0x?x0x?x02) lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B;
x?x0x?x0x?x03) 若B?0 则
limf(x)g(x)?x?x0limf(x)limg(x)?AB;
x?x0x?x04）limc?f(x)?c?limf(x)?cA（c为常数）
x?x0x?x0上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立例2 求 lim2.
x?3x?5x?422.
52x?2解: limx?3x?5x?4=
2?3?2?52?4x?2?.
002.3、约去零因式（此法适用于x?例3 求limx?x?16x?20x?7x?16x?123232x0时,型）
.
x??2解:原式 =limx??2?x?x33?3x?10x?(2x?6x?20)?5x?6x?(2x?10x?12)22??22
=lim(x?2)(x?3x?10)(x?2)(x?5x?6)22x??2
=lim(x?5)(x?2)(x?2)(x?3)x??2
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=limx?5x?3x??2??7.
2.4、通分法（适用于???型）
例4 求 lim(x?244?x2?12?x).
解:原式=lim4?(2?x)(2?x)?(2?x)(2?x)(2?x)(2?x)
x?2 =lim =lim
x?212?xx?2?14.
2.5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
无穷小量性质:
设函数f(x)、g(x) 满足：
（i）limf(x)?0;
x?x0?2? (ii) g(x)?M(M为正整数). 则 limg(x)f(x)?0.
x?x0例5 求 limx?sinx?01x.
1x?1
解: 由limx?0 而sinx?0故原式=limx?sinx?01x?0.
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2.6、利用无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量和无穷大量具有如下关系:
1f(x)?1?(i)若limf(x)??,则lim?0;
(ii) 若limf(x)?0且f(x)?0,则lim1f(x)??.
例6 求下列极限 (1) lim1x?5x??x?? (2) lim11x?1
x?1解: (1)由lim(x?5)??,故limx?51(2)由lim(x?1)?0,故lim??x?1x?1x?1x???0.
.
2.7、等价无穷小代换法
无穷小替换法: 设?,?',?,?' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有
??''?2? ?~?,?~?，lim''
存在，则 lim??也存在，且有lim1?cosxxsinx222?? ?lim??''.
例7 求极限lim.
(x)22x?0解: 因为sinx~x, 1?cosx~(x)22222(x)222且limx?02存在, 22x?x所以,lim1?cosxxsinx222x?0?12?. 222xx注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差
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出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”.
2.8、利用两个重要的极限
两个重要的极限：
(A)limsinxx?1 (B)lim(1?x???1?1xx?0)?ex
但我们经常使用的是它们的变形：
(A)lim''sin?(x)?(x)1?1,(?(x)?0)
)?(x)(B)lim(1??(x)?e,(?(x)??)例8 求下列函数极限
(1)lima?1xxx?0 (2)limlncosaxlncosbxxx?0
解:(1)令a?1?u，则x?xln(1?n)lna于是
a?1x?ulnaln(1?u)
有当x?0时，u?0,故有
lima?1xxx?0?limulnaln(1?u)u?0?limlnaln(1?u)uu?0?limlna1u?0?lna.
ln(1?u)u (2)原式?limln[1?(cosax?1)]ln[1?(cosbx?1)]x?0
1)]cosbx?1o)]csax?ln[?1(caxo?s? ?limx?0cosax?1ln[?1(cbxo?s1
11cosbx?cosbx?1 ?lim
x?0cosax?12a?2sinx2 ?lim
x?0b2?2sinx2 -6-