湖南科技大学本科生毕业设计（论文）
a2x)2sin(a22x(bx)22b ?lim?2. ?2x?0a2a2bsinx(x)22b2(x)22.9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）
函数的连续性如下：
（i）若f(x)在x?x0处连续，则limf(x)?f(x0);
x?x0?1? (ii)若f[?(x)]是复合函数，又lim?(x)?a且
x?x0 f(u)在u?a处连续，则limf[?(x)]?f[lim?(x)]?f(a).
x?x0x?x0例9 求下列函数的极限 (1) limecosx?51?x?ln(1?x)2xx?0 （2）limxln(1?x)xx?0
解:(1) 由于x?0属于初等函数f(x)?故由函数的连续性定义有 limx?0ecosx?51?x?ln(1?x)2的定义域之内，
?f1?x?ln(?1x)21ecosx?x5(0?). 6
（2）由
ln(1?x)x?ln(1?x)x1
令?(x)?ln(1?x)x故有
limln(1?x)x11x?0?limln(1?x)x?ln(lim(1?x)x)?lne?1.
x?0x?0
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2.10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型） 特别地有,变量替换法:
l limxk?1?ml,m、n、l、k为正整数.
x?1nxm?1nk例10 求下列函数极限 n(1)lim1?x、n?N) (2) 1?m(m lim(2x?3x?1xx??2x?1)x?1
解: (1)令t=mnx,则当x?1时t?1,于是 2m?1原式=lim1?tm?lim(1?t)(1?t?t????t)t?11?tn(1?t)(1?t?t2??mt?1???tn?1)n.
(2)由于lim2x?3x?12x?1x??(2x?1)=limx??(1?2x?1)
令
2x?112?t ，则 x?1?11t?2
2x?321)x?1)x?1=lim(1?t)?1?limt2x??(2x?1=limx??(1?2x?1t?0
11 =lim(1?t)t?lim(1?t)2?e?1?e.
t?0t?02.11、利用函数极限的存在性定理
定理?2?设在x0的某空心邻域内恒有g(x)?f(x)?h(x) limg(x)?limh(x)?A
x?x0x?x0则极限limf(x)存在, 且有
x?x0 lx?imxf(x)?A.
0n例11 求xlimx???ax(a?1,n?0).
解: 当x?1时,存在唯一的正整数k,使
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且有 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）
k?x?k?1
于是当n?0时有
及
又? 当x???时, k??? 有
lim及
limxanxxanx?(k?1)akn
xanx?kank?1?kank?1a
(k?1)aknk????lim(k?1)ak?1nk????a?0?a?0
kank???k?1? limkankk????1a?0?1a?0
?
x???lim=0.
2.12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)
定理函数极限limf(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限limf(x)及右极
x?x0x?x0??3?限limf(x)都存在且都等于A。即有
x?x0?x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A.
x?x0x?x0例12 设
?1?2e?x,x?0??x?x,0?x?1,求limf(x)及limf(x). f(x)??x?0x?1x??x2,x?1??x解：?lim?f(x)?lim?(1?2ex?0x?0)??1x?0lim?f(x)?lim?(x?0x?x?x
)?lim?(x?1)??1x?0由limf(x)?limf(x)??1
x?0?x?0 -9-
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?limf(x)??1
x?0又?lim?f(x)?lim?x?1x?12x?xx?lim（x?1)?0?x?1x?1lim?f(x)?lim?x?1x?1
由f(1?0)?f(1?0)?limf(x)不存在.x?12.13、洛必达法则（适用于未定式极限）
洛必达法则如下: 若
(i)limf(x)?0,limg(x)?0x?x0x?x0?2?(ii)f(x)与g(x)在x0的某空心邻域g(x)u(x0)内可导，且0g(x)?0'' (iii)limf(x)?A(A可为实数，也可为'x?x0'??或?），则
x?x0limf(x)g(x)00?limf(x)g(x)'x?x0?A此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则. 注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：
1、要注意条件，也就是说，在没有化为,0?0?时不可求导.
2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式导数. 3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，遇到不 是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误. 4、当limf(x)g(x)'' 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限
x?a须用另外方法.
例13 求下列函数的极限 (1)lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0 (2)limx12lnxxax???(a?0,x?0)
解：(1)令f(x) ? e?(1?2x)f(x)?e?(1?2x)'x?12, g(x) ?ln(1?x2)
2x2, g'(x)?1?x
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2(1?x)(1?x)222f(x)?e?(1?2x)\x?32,g(x)?\
由于f(0)?f'(0)?0,g(0)?g'(0)?0 但f\(0)?2,g\(0)?2
从而运用洛必达法则两次后得到
lime?(1?2x)ln(1?x)2x12x?0?lime?(1?2x)2x1?x2x?12x?0?lime?(1?2x)2(1?x)(1?x)222x?32x?0?22?1.
(2)由limlnx??,limxa??,故此例属于
x???x?????型，由洛必达法则有
1x???limlnxxa?limxaxa?1x????lim1axax????0(a?0,x?0).
2.14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式 1、e?1?x?xx?1?x22!3????xnn!?o(x);
n2、sinx?x?3!x2?x55!x4????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!n?o(x2n);
3、cosx?1?2!?4!2????(?1)x2n(2n)!?o(x2n?1);
4、ln(1?x)?x?5、(1?6、
11?xx)?x2????(?1)n?1xnn?o(x);
n?1??x?2?(??1)2!x???nn2?(??1)?(??n?1)n!x?o(x)nn;
? 1?x?x????x?o(x);
上述展开式中的符号o(xn)都有:
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