湖南科技大学本科生毕业设计（论文）
nlimo(x)?0.
x?0xn例14 求lima?2x?a?x(x?0xa?0)
解:利用泰勒公式，当x?0有
1?x?1?x2?o(x)
于是 lima?2x?a?xx
x?0a(1?2x?xa?1a)=limx
x?0a?1?1(2x)?o(x)?1?1?x?o(x)?=??2a2a?lim??0x
xa?xlim2a?o(x)11x?lim2ax?o(x)=.
x?0x?0x?2a
2.15、利用拉格朗日中值定理
定理?1?若函数f(x)满足如下条件： (i)f(x) 在闭区间上连续, (ii)f(x) 在(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少存在一点?,使得
f'(?)?f(b)?f(a)b?a
此式变形可为
f(b)?f(a)'b?a?f(a??(b?a)) -12-
(0???1).
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xsinx例15 求 lime?ex?0x?sinx
解:令f(x)?ex,对它应用中值定理得
e?exsinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f(sinx??(x?sinx)) (0???1)'
即
?f(x)?e''xe?exsinxx?sinx?f(sinx??(x?sinx)) (0???1)
'连续
'?limf(sinx??(x?sinx))?f(0)?1
x?0从而有 lime?exsinxx?0x?sinx?1.
2.16、求代数函数的极限方法
(一)有理式的情况，即若
R(x)?P(x)Q(x)?a0x?a1xb0x?b1xnmm?1n?1????am????bn (a0?0,b0?0).
(i)当x??时，有
?a0? m?n?b?0??????0 m?n?. ?? m?n??????? limP(x)Q(x)x???lima0x?a1xb0x?b1xnmm?1n?1????am????bnx??(ii)当x?0 时有 ①若Q(x0)?0 则limP(x)Q(x)?P(x0)Q(x0)x?0
②若Q(x0)?0而P(x0)?0则lim
P(x)Q(x)x?0??
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③若Q(x0)?0,P(x0)?0,则分别考虑若x0为P(x)?0的s重根,即P(x)?(x?x0)sP1(x) 也为Q(x)?0的r重根,即
Q(x)?(x?x0)Q1(x)r 可得结论如下：
?0 , s?r???s?r(x?x0)P1(x)?P1(x0)P(x)?lim?lim?? , s?r?. x?x0Q(x)x?x0Q1(x)?Q1(x0)??? ,s?r???例16 求下列函数的极限 (1)lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1) (2) limx?3x?2x?4x?343
x?1解: (1)分子，分母的最高次方相同，故
lim(2x?3)20(3x?2)5030x??(2x?1)=
220?350302330?()2 .
(2)?P(x)?x3?3x?2,?P(1)?0 ?Q(x)?x4?4x?3,?Q(1)?0
?P(x),Q(x)必含有(x?1)之因子，即有1的重根 故有
limx?3x?2x?4x?343x?1?lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?2x?3)222x?1?limx?2x?2x?32x?1?12.
(二)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例17 求lim(x?x???x?x?x?xx?xx?x?x)
x)
解: lim(x?x???x?x?x?x??limx?x?x???
?limx???x
x?x?x
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1??limx???1x1x3??112 .
1?1x?2.17. 直接代入法(适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例18 求lim解:由于
lim(x2?x?2x?2)
2x?x?53x?12x?2.
?5)x?2
x?22lxi?m?x22?x2?xlim??x2l?im?5?2?2172255lim(x3?x?2?1)3xl?im2?li?m?1?32
所以，原式=?lim(2x?x?5)x?2lim(3x?1)x?2?2?2?2?53?2?12?57.
2.18．无穷小量分出法(适用于分子、分母同时趋于?,即型未定式)
??例19 lim3x?4x?27x?5x?3332x??.
解:所给函数中，分子、分母当x??时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当x??时，分子、分母同时趋于?，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.故
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4x5x23?原式?limx?????2x27?3xx3(分子、分母同除以x)3lim(3??x??4x5x222)(运算法则))lim(7?x???3x3??111(当x??时，,2,3都趋于0)7?0?0xxx373?0?0
2.19. 分段函数的极限
?x?1,x?0?例20 设f(x)??0,x?0讨论 f(x)在点 x?0处的极限是否存在.
?x?1,x?0?
解:所给函数是分段函数, x?0是分段点, 要知limf(x)是否存在,必须从极限存在的
x?0充要条件入手.
因为limf(x)?lim(x?1)??1;
x?0?x?0? limf(x)?lim(x?1)?1;
x?0?x?0? limf(x)?limf(x);
x?0?x?0?
所以 limf(x)不存在.
x?0注1 因为 x从 0的左边趋于 0,则 x?0,故 f(x)?x?1. 注2 因为 x从 0的右边趋于 0,则 x?0,故 f(x)?x?1.
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