湖南科技大学本科生毕业设计（论文）
第三章 数列极限
3.1 运用数列极限的定义
数列极限的定义:设{an}是一个数列,若存在确定的数a,对???0，?N?0使当n?N时,都有
an?a??
?1?则称数列{an}收敛于a，记为liman=a，否则称数列{an}不收敛（或称数列{an}发散）.
n??故可从最原始的定义出发计算数列极限. 例1 用?-N方法求limnn??n?1.
解：令 nn?1?t?1则t?0
? n?1?(1?t)?1?nt?nn(n?1)t22????n(n?1)t22
?
nn?1?1?t?2(n?1)n(n?1)?4nn(n?1)?2n?1
?4?????0 取 N??2?1? 则当n?N???n时，有
2n?11?n?1???
? limnn??n?1?1.
3.2 利用迫敛性定理
迫敛法定理：设收敛数列{an},{bn}都以a为极限，数列{cn}满足: 存在正数N0当n?N0时有
an?cn?bn?1?，
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则数列{cn}收敛，且limcn?a.
n??1例2 求lim(n!)n.
n??1112解:因为1?(n!)1x??n2?(n)nn2?nn （1）
又因为limnn?1,
1所以，由（1）式及迫敛性定理lim(n!)n?1 .
n??23.3利用单调有界准则
首先我们介绍单调有界定理，其内容如下： 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
设数列{xn}单调递增有上界，即对任意的n?N，xn?xn?1，且存在M则数列{xn}一定有极限，即存在a?R，使
lim?a.
x???2??R，使xn?M，
或者，数列{xn}单调递减有下界，则数列{xn}也一定有极限. 例3 证明数列
2,2?2,?2?2??2,?
收敛，并求其极限.
证：易见数列{an}是递增的.现用数学归纳法来证明{an}有上界. an?2?2??2，显然 a1?2?2。假设an?2,则有an?1?2?an?2?2?2，从而对一切n 有an?2,
即{an}有上界.
由单调有界定理，数列{an}有极限，记为a.由于
an2?1?2?an ， 对上式两边取极限得 a2?2?a，即有
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(a?1)(a?2)?0,
解得a??1或a?2
由数列极限的保不等式性a??1是不可能的，故有
limn??2?2??2?2.
3.4、先用放缩法再求极限：
例4 求极限 lim(n??1n?n?122?2n?n?232?3n?n?32???nn?n?n2)
解：记 xn?则
?1n?n?1?xn?2?n?n?22?n?n?32?????nn?n?n2
1?2???nn?n?121?2???nn?n?n2
n(n?1)2(n2?n?1)?xn?n(n?1)2(n122?n?n)又?limn(n?1)2(n2n???n?1)??limn(n?1)2(n2n???2n)
由迫敛性定理有
lim(1n?n?12n???2n?n?22?3n?n?32???nn?n?n2)=
12.
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第四章 结论
本文为研究求极限的若干方法。极限主要分为函数极限和数列极限，因此本文从函数极限和数列极限入手，简单总结了求函数极限和数列极限的若干方法。其中第一部分求函数极限的方法有：运用极限定义利用极限的四则运算性质、约去零因式通分法、利用无穷小量性质法、利用无穷小量和无穷大量、等价无穷小代换法、利用两个重要的极限等方法。
第二部分求数列极限的方法有:运用数列定义、迫敛性定理、利用单调有界定理、柯西收敛准则等方法。
本文研究过程中的遗留问题是：由于本人所学知识、手头资料和论文时间有限，因此可能还有更多深奥的方法没有提及到，需要在进一步的学习中归纳总结此类型的方法。
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参 考 文 献
[1]华东师范大学数学系编.数学分析.(第三版.上册)[M].高等教育出版社2001. 6 [2]王勇烈,李铁臣.微积分与应用数学基础[M].航空工业出版社1996 .7 [3]上海财经大学应用数学系编.微积分[M].上海财经大学出版社2007 .7 [4]欧阳光中,朱学炎.数学分析,第三版[M]. 高等教育出版社2007. [5]钱吉林编著.数学分析解题精粹[M]. 崇文书局2006. [6]郝涌等编著.考研精解[M].华中理工大学出版社1999.3
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致 谢
在本毕业设计论文即将完成之际，我想对所有曾经给过我帮助和支持的人们表示衷心的感谢。首先要感谢的是养育我的父母，他们给了我无私的爱，我深知他们为我求学和生活所付出的巨大的牺牲和努力，至今我一直无以为报，在这里仅表达我对他们的深深地思念和感恩。
感谢我的导师刘丽娟，她在学习和工作方面给了我大量的指导，让我学到了很多知识，掌握了，也获得了实践锻炼的机会。她对我的严格要求以及为人的诚恳都将使我终身受益。除此之外，还对我的生活给予关怀，使我可以顺利的完成在校外的毕业设计任务，在此祝愿她身体健康，全家幸福！感谢在科大为我们提供良好的实习环境和生活环境，让我们在这个陌生的环境里感受到温暖。感谢一直在学校的同学们.在我设计过程中给了我莫大的帮助和鼓励，让我学到很多。感谢我班及寝室的同学。他们是我学习和生活上的伙伴，也是面对困难和挑战时的战友。感谢荷塘小学的老师们，谢谢他们给我这次实习工作的机会,让我懂得了如何做事，更让我明白了如何做人。感谢数学四班的我的同学们，感谢他们在大学期间在学习和生活上给予我的帮助。感谢我在网络上的那些个朋友，每当遇到自己无法解决的问题的时候，总是向他们求教，他们也总是不吝赐教。还有很多我无法一一列举姓名的师长和友人给了我指导和帮助，在此也一并表示衷心的感谢，他们的名字我一直铭记在心！最后，衷心的感谢在百忙之中抽出时间审阅论文的专家教授老师。
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