2011年2月《初等数论》题库
第二章 不定方程
解答题
1、将一根30米长的钢料截割成规格分别为2米、3米和8米的较短的料，每种规格的料至少有一根，问怎样截法才能使原来的钢料恰好用完？
解：设2米、3米、8米的料分别截x、y、z 根，根据题意有 2x+3y+8z=30
又x、y、z的最小值为1，所以1＃z由此可知，z的可能取值为1、2、3
（1） 当z=1时，原方程化为：2x+3y=22 可知
[30-2-3]=3 8x0=8.y=2是方程2x+3y=22的一个解
0则该方程的全体解为x=8+3t、y=2-2t，t?z 又因为1＃x[30-3-8]=9 2所以t只能取-1、-2、0，解得{
x=2y=6 {
x=5y=4 {
x=8y=2
（2） 当z=2时，原方程化为 ：2x+3y=14 可知
x0=4、y0=2是方程2x+3y=14的一个解
则该方程的全体解为x=4+3t、y=2-2t，t?z 又因为1＃x9、1＃y[30-2-8]=6 3 {
所以t只能取-1、0，解得{
x=1y=4x=4y=2
（3） 当z=3时原方程化为2x+3y=6 可知此方程无正整数解
综上所述原方程共有五组解 x 1 2 y 4 6 4 2 2 5 4 1 8 2 1 z
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2、求弦长小于30的所有勾股数。
解：由勾股方程的基本解形式知：a?b?0，a+一偶，所以可确定a、b的值
2b2<30,2＃a5，且a、b一奇
a=2、b=1时 x=ab-22=3，y=2ab=4，z=ab+222=5 =13
2a=3、b=2时 x=a=4、b=1时 x=a=4、b=3时 x=a=5、b=2时 x=以上是五组基本解
ab----22=5，y=2ab=12，z=ab+22ababab2222=15，y=2ab=18，z==7，y=2ab=24，z=ab+2=17
2ab+22=25
22=21，y=2ab=20，z=ab+=29
由基本解x=3，y=4，z=5可以得到四组不互质的解
(x,y,z) 2 3 4 5 x 6 9 12 15 y 8 12 16 20 z 10 15 20 25 由基本解x=5，y=12,z=13可以得到一组不互质的解
(x,y,z) 2 x 10 y 24 z 26
所以弦长小于30的够股数共有十组 y x 3 6 9 12 15 5 10 15 7 21
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z 5 10 15 20 25 13 26 17 25 29 4 8 12 16 20 12 24 8 24 20 2011年2月《初等数论》题库
3.鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏几何？
解： 分别以x1,x2,x3代表鸡翁，鸡母，鸡雏的数目，则依题意有：
ì3??5x+3x+=1002?1x3 í
?????x1+x2+x3=100 我们要求的是这个不定方程组的非负整数解，所以消去x3得：
7x1+4x2=100，它的全部非负整数解为：x1=4t x2=25-7t(0＃t 所以本题解为：见下表
0 4 8 12 25 18 11 4 75 81 88 84 3)
x1 x2 x3
4.甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？ 解: 设甲、乙班的学生每人分别得x,y支铅笔，则7x?11y?100， 解这个不定方程得x?8,y?4
5.某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 解： 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是
15x?3y?z?1003x?y?z?1007x?4y?100zx?0,y?25x?0,y?00?t?3 ?y?7x?5y?142. ①
14?2x7x?2?28?x? 552 由于7x?142，所以x?20，并且由上式知5|2?x?1?．因为?5,2??1，所以5|?x?1?，从而x?1,6,11,16，①的非负整数解为
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{x?1x?6x?11x?16 ,{,{,{y?27y?20y?13y?6 所以，共有4种不同的支付方式．
6. 甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?
解 设买甲物x斤，乙物y斤，丙物z斤，则
15x?3y?z?100 3x?y?z?100消去z,得 7x?4y?100 （1） 显然是x?0,y?25方程(1)的解，因此，方程(1)的一般解是
?x?4t ， t?Z ??y?25?7t因为x?0,y?0，所以0?t?3
即t可以取值t0?0,t1?1,t2?2,t3?3相应的x,y,z的值是
(x,y,z)?(0,25,35),(4,18,78),(8,18,81),(12,4,84)
计算题
?x1?2x2?3x3?77．求解不定方程组?；
2x?5x?20x?1123?1解：消去x1得9x2?14x3?3,，解得x2??9?14t,x3??6?9t，t?Z，从而得到不定方程的解x1?43?55t,x2??9?14t,x3??6?9t,t?Z 8.求方程
111??的正整数解。 xyzz?,s?y其
中
2?z,,ts?t代N，入原方程可得z?st，于是
,y?,zx? 解：x?zxk?a(modm)，
a,b?,d,?N(abx?abd?a2d,y?abd?b2d,z?abd，反之，将上式代入原方程知它们是原方程的
正整数解。
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9. 求9x?24y?5z?1000的一切解。
解：?9,24??3，?3,?5??1，故方程有解。考虑方程9x?24y?3t，即3x?8y?t及
3t?5z?1000，则分别得到
?x?3t?8u，u?Z ??y??t?3u?t?2000?5v，v?Z ??z?1000?3v消去t，得到
?x?6000?15v?8u? ?y??2000?5v?3u，u,v?Z
?z?1000?3v?
10.求不定方程3x?6y?12z?15 解：
x?2y?4z?5
依次解方程 t?4z?5 x?2y?t
t?1?4ux??t?2v 分别得到{ （1） { (2)
z?1?uy?t?v?x??1?4u?2v? 将（1）式与（2）式中的t消去，得到?y?1?4u?v u,v?Z
?z?1?u?
11．求不定方程x?2y?4z?5的解。 解 依次解方程
t?4z?5， ?1? x?2y?t， ?2?
??t?1?4u由?1?得到 ? ， ?3?
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