2011年2月《初等数论》题库
?x??t?2v?由?2?得到 ?，v?? ?4?
y?t?v??将式?3?与式?4?中的t消去，得到
?x??1?4u?2v??y?1?4u?v ， u,v?? ??z?1?u
19写成三个分数之和，它们的分母分别是2,3和5。 3019xyz???，则15x?10y?6z?19 解：设
3023512. 将
依次解方程5t?6z?19,15x?10y?5t
得到??t??1?6u?x?t?2v,u?Z ?,v?Z
z?4?5uy??t?3v???x??1?6u?2v?消去t，得?y?1?6u?3v,u,v?Z
?z?4?5u?令u?0,v?0，得到x??1,y?1,z?4 故
13.求解不定方程6x?17y?18. 因为(6,17)?118，所以有解 考察6x?17y?1，x?3,y?1 所以x?54,y?18是特解
19114???? 30235 所以，原方程的解是??x?54?17t t?Z.
y?18?6t?
14.求不定方程4a?3b?7c?8d?150的解。
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?4a?3b?t1解：依次解方程??t1?7c?t2
??t2?8d?150得到： ??a?3m?b?1,m?Z 3t1?4m
??t1?t2?7nc??n,n?Z ???t2?6?8l?d?18?l,l?Z ??a?3m∴??b?83l?73n?4m?2c??n(m,n,l?Z) ???d?18?l
15. 求107x?37y?25的一切整数解。 解 由给定的方程得
y?25?107x37??2x?25?33x37??2x?y?,其中，
y??25?33x37应该也是整数解，故得一新的不定方程37y??33?25 (1)
又x?25?37y33??y??25?4y?33??y??x? 仿前令x??25?33x?4?6?8x??1?x?4?6?8x??y? 其中，y???1?x?4，即最后得到
x??4y???1 然后(2)的一切解是
x??1?4t,y??6?8x??y????2?33t?t??1,?2??
而（1）的一切解是
x?3?37t,y?2x?y???8?107t?t??1,?2??
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2）
（
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16.求不定方程25x?13y?7z?4的整数解. 解： 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
25x?13y?t, t?7z?4
利用求二元一次不定方程的方法,因为
?25t?13(2t)?t, 32?7?(?4)?4,
所以,上面两个方程的解分别为
?t?32?7k2?x??t?13k1 , . ??z??4?k2??y?2t?25k1消去t就得到所求的解
?x??32?13k1?7k2??y?64?25k1?14k2, ?z??4?k2?这里k1,k2是任意整数.
17.解不定方程：15x1?10x2?6x3?61
解：依次解方程 5t?6x3?61，3x1?2x2?t，分别得到??t?5?6u,u?Z
x?6?5u?3?x1?5?6u?2vx?t?2v?1?,v?Z，消去t，得到?x2??5?6u?3v；u,v?Z。 ??x2??t?3v?x?6?5v3? 18.把
17写成分母两两互素的三个既约分数之和。 6017xyz??? 解：?60?3?4?5 所以可设
60345即20x?15y?12z?17
令4x?3y?t,则上式变为5t?12z?17
?t0?1易解得一组特解为?
z?1?0?t?1?12k(k?0,?1,?2??) ?其全部解为??z?1?5k第 8 页 共 17 页
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?4x?3y?1?12k
易得上式一组特解为??x0?1?12k
?y0??(1?12k)?x?1?12k?3l??原不定方程通解为?y??1?12k?4l 其中k,l?Z
?z?1?5k?为满足题设条件，需x?3,y?4,z?5,此时k,l取零
?x?117111???y??1????
60345?z?1?
19.解三元一次不定方程：39x?24y?9z?78 解：去掉公因子3，化简为 13x?8y?3z?26
用代入法???13x?8y?u......?1? ??u?3z?26......?2? 由 ?1?式解得??x??8u?8kk?z
y??5u?13k??u?2?3l 由?2?式解得?l?z
z?8?l??x??6?9l?8k? ??y??10?15l?13k k,l?z
?z?8?l?
20.求不定方程x?y?y?x?18的正整数解。 解：所给方程可写为?y?x??x?y?1??18
由x?1 得2x?1>1?x?y?1?(y?x)?2x?1>y?x ?y?x可取1,2,3 x?y?1应取18,9,6
22即??y?x?1?y?x?2?y?x?3 ???x?y?1?18?x?y?1?9?x?y?1?6第 9 页 共 17 页
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解知得 ?
21. 求方程x1?2x2?3x3?41的所有正整数解
解：分别解x1?2x2?t,t?3x3?41得，x1?t?2u,x2?u,u?Z,t?41?3v,x3?v,
?x?9?x?4?x?2 ? ?
?y?10?y?6?y?5v?Z,消去t得x1?41?3v?2u,x2?u,x3?v,u、v?Z，由此得原方程的所有正整数解
为u?0,v?0,41?3v?2u?0. （x1，x2，x3）?（41?3v?2u，u,v）， 22.求方程
x2?xy?6?0的整数解。
解：
x?x?y??6得?5?，?1?，?1?，?5?，?x,y???1,5?，??1，?2,1?，??2，?3，??3,1?，?6，??6,5?23．求方程x1?2x2?3x3?41的所有正整数解。 解：分别解x1?2x2?t，t?3x3?41 得x1?t?2u，x2?u，u?Z，t?41?3v，x3?v，v?Z， 消去t得x1?41?3v?2u，x2?u，x3?v，u，v?Z。 故原方程的全部正整数解为：
?x1,x2,x3??(41?3v?2u,u,v)，u?0，v?0，41?3v?2u?0。
24.求15x1+10x2+6x3=61的解。
ì?5y+6x3=61解：引入变量y ?í???15x1+10x2=5y
ìy=5+6t1??而5y+6x3=61的通解为ít1=0,北1.2?
?x=6-5t1??3ìx1=y2+2t2?15x1+10x2=5y的通解为?t2=0,北1.2? í???x2=-y1-3t2第 10 页 共 17 页