2011年2月《初等数论》题库
?x?1?7t(t?0,?1,?2,……) ?全部解为：?x??1?10t?1241.求z?65的不定方程x2?y2?z2的全部解.
解：显然解是x??6y,y?0;x?0,y??65.为求非显然解，由式（9）和式（10）知；
先要把65表为65=k?(r2?s2),其中r,s满足式（7），k65,0?k?65.
k可取1，5，13，当k=1时65=82+12=72+42。
即r?8,s?1;r?7,s?4相应的解为x??63,y??16;x??33,y??56及
65=5?13=5（32+22）x??16,y??63;x??56,y??33.当k?5时，即
r?3,s?2,相应的解为x??25,y??60及x??60,y??25。
当k?13时，65?13?5?13(22?12)即r?2,s?1相应的解为
x??39,y??52及x??52,y??39这就求出了全部解。本原解仅有
63，16，65；33，56，65；及16，63，65；56，33，65.
42.求11x?15y?7的整数解． 解：将方程变形得
x?7?15y 11 因为x是整数，所以7?15y应是11的倍数．由观察得x0?2,y0??1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为
x?2?15t，t为整数 {y??1?11t 解法2 :
先考察11x?15y?1，通过观察易得
11???4??15?3?1，
?11???4??7?1?5??3? 7?7第 16 页 共 17 页
2011年2月《初等数论》题库
可取x0??28,y0?21．从而
{x??28?15t，t为整数
y?21?11tn]ab证明题
43.证明：二元一次不定方程ax?by?n,a?0,b?0,?a,b??1的非负整数解的个数为[或??n??1。 ??ab?证明： 二元一次不定方程ax?by?n的一切整数解为
?x?x0?bt，t?Z， ?y?y?at0?于是由x?0,y?0得?y0xnyx，故此区间内的整数个数为?t?0，但区间[?0,0]的长度是
ababab[n]或??ab
n??1。 ??ab?33? ? ? x?y?n无整数解 n 9 k t , t 3 4 5 ，， 6k?Z44.若或，，证明方程
1,r2?2,q1,q2?Z 证明：对任意的整数x，y，记 x?3q1?r1，y?3q2?r2，0?r 则x?r1?R1(mod9)，y?r2?R2(mod9)，x?y?R(mod9) 其中 R1?0,1,8，R2?0,1,8，R?0,1,2,7,8
33x?y?9k?R,R?0,1,2,7,8 则
33x?y?n无整数解 则
333333
22x?y?8k?3?k?Z? 45.证明：不存在x,y,使得
证明：对任意整数x,y 记
2222x?8q?ry?8q?rx?y?8q?r，r?r?112212 ，0，1，4，，0，1，则
r=0,1,2,4,5
22x?y?8k?3无解 故
第 17 页 共 17 页