2011年2月《初等数论》题库
ìx1=5+6t1+2t2???1.所以原不定方程的通解为?íx2=-5-6t1-3t2t1,t2=0,北?????x36-5t1?x??1?4u?2v??y?1?4u?v ?z?1?u?2?
25.求9x?24y?5z?1000的一切解。
解：（9,24）=3，（3，-5）=1，故方程有解，考虑方程9x?24y?3t,3t?5z?1000，
x?3t?8u,y??t?3u，
t?2000?5v,，其中u,v?z，消去t可得，
z?1000?3vx?6000?150v?8uy??2000?5v?3u。 z?1000?3v
26. 求不定方程3x?6y?15的解。 解： (3,6)?3|15，所以方程有解。
由辗转相除法（或直接观察），可知x??1,y?1是
3x?6y?3
的解，所以x0??5,y0?5是原方程的一个解。所求方程的解
?x??5?2t?y?5?t,t?Z ?
27.求不定方程x?y?4z?7的解。解：原方程等价于解方程组：
x?y?t,
t?4z?7
分别得到
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??
x?t?uy?u,u?z,,v?z,
t?7?4vz?v将t消去，得到
x?7?4v?u,y?u,z?v?u,v?z?
28．3x?5y?10的解
??x?5t?2?x0?2因为?为3x?5y?10的特解，所以?（其中t?z）为该方程的解
y??3t?1??1???y0 29.将
11写成三个分数之和，它们的分母分别是2，5，7 7011xyz???（其中x,y,z?z） 70257??t??7?10u?7t?10z?11?1?则35x?14y?10z?11等价于?，有（1）解的?（其中u?z）
z?6?7u35x?14y?7t2?????即
?x?1?2v5x?2y??7?10u解得?（其中u,v?z），所以35x?14y?10z?11的
?y?5u?5v?6?x?1?2v?解为?y?5u?5v?6（其中u,v?z），令u?0,v?0得x?1,x??6,z?6
?z?6?7u?所以
30.解不定方程306x?360y?630
解：因为(306,360)?18,18630?35，所以306x?360y?630可以化简为
11166??? 7025717x?20y?35,解20x?17y?1得：x?(?1)2?6?6,y?(?1)3?7??7,所以17x?y2?03x??7?35?20t,y??6?35?17t.所以，306x?360y?630的的解为：
一切解为x??7?35?20t,y??6?35?17t.且t?0,?1,?2??????
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31. 求不定方程25x?13y?7z?4的整数解.
解: 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
25x+13y=t, t+7z=4.
利用求二元一次不定方程的方法,因为
25(-t)+13(2t)= t, 32+7?(-4)=4,
所以,上面两个方程的解分别为
?t?32?7k2?x??t?13k1 , . ???z??4?k2?y?2t?25k1消去t就得到所求的解
?x??32?13k1?7k2??y?64?25k1?14k2, ?z??4?k2?这里k1,k2是任意整数.
32.解不定方程9x+21y?144
（9，21）=3，3|144所以有解，化简得 3x+7y=48考虑3x?7y?1有?解：因为
?x??2，
?y?1所以原方程的特解为?
?x??96?x??96?7t，因此所求的解是?（其中t?z）.
?y?48?y?48?3t33. 求不定方程25x?13y?7z?4的整数解. 解: 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
25x?13y?t,t?7z?4
利用求二元一次不定方程的方法,
所以,上面两个方程的解分别为
?t?32?7k2?x??t?13k1 , . ???z??4?k2?y?2t?25k1消去t就得到所求的解
?x??32?13k1?7k2??y?64?25k1?14k2, ?z??4?k2?这里k1,k2是任意整数
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34.求不定方程x?3y?4z?60的所有正整数解。 解：原方程等价于解方程组：
x?3y?t, t?4z?60
分别得到
??x?t?3uy?u,u?z,,v?z,
t?60?4vz?v将t消去，得到
x?60?4v?3u,y?u,z?v?u,v?z?
由此得到原方程的全部正整数解为
?x,y,z???60?4v?3u,u,v?,u?0,v?0,60?4v?3u?0
35.求解不定方程组： ?解答：消去
x?2x?3x?7 ??2x?5x?20x?11??123123x得9x12?14x3?3，解得x2??9?14t,x3??6?9t,t?Z
2于是得不定方程得 36.将
x?43?55t,x1??9?14t,x3??6?9t,t?Z
235,7. 写成三个分数之和，它们的分母分别为2，70 依次解方程35x?14y?7t即5x?2y?t 7t?10z?23， 得到??x?t?2u,u?z,?1?
?y??2t?5u?t??1?10v ?,v?z,?2?
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?x??1?10v?2u?式（1）与式（2）消去t得到?y?2?20v?5u,u,v?z,
?z?3?7v?令u?0,v?0，得到x??1,y?2,z?3， 因此
37.求不定方程2x+4y=18的解。 解：，?2,4??2|18,所以方程有解。
由辗转相除法可知，X=-1，Y=1是2x+4y=2的解。 所以X0=-9,Y0=9是原方程的一个解。 故所求方程的解是?
38.解不定方程8x?18y?10z?16
23123???? 70257?X=-9+2t
Y=9-t ,t?Z。??x?4?9t1?10t2?解析：?y?2?4t1?5t2.
?z?2?t2?
39.解不定方程7x+8y+9z=10
解：由定理3依次解方程t+9z=10和7x+8y=t 分别得到解??t?1?9u?x??t?8v(u?z)和?(v?z)
z?1?uy?t?7v???x??1?9u?8v?将上式消去t得?y?1?9u?7v(u?z,v?z)
?z?1?u?
40.解不定方程10x1-7x2=17
（10，7）=1 解：? ?方程有解
有观察法得x10=1，x20=-1是一组特解
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