??NA?30?10N14?3.14?16mm223?149.3MPa
（2）求弹性模量 因为：?l?所以：E?NlEAN?l，
???l?l?149.3?30002.2?203590.9(MPa)?203.6GPa。
A??l[习题2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变?s等于直径方向的线应变?d。
（2）一根直径为d?10mm的圆截面杆，在轴向力F作用下，直径减小了0.0025mm。如材料的弹性模量E?210GPa，泊松比??0.3，试求该轴向拉力F。
（3）空心圆截面杆，外直径D?120mm，内直径d?60mm，材料的泊松比??0.3。当其轴向拉伸时，已知纵向线应变?0.001，试求其变形后的壁厚。 解：（1）证明?s??d
在圆形截面上取一点A，连结圆心O与A点，则OA即代表直径方向。过A点作一条直线AC垂直于OA，则AC方向代表圆周方向。 ?s??AC???? （泊松比的定义式），同理， ?d??OA???? 故有：?s??d。 （2）求轴向力F ?d??0.0025mm ??''?dd??0.002510??2.5?10?4
?????
?????'???2.5?100.34?253?10?4
??E?
FA?E?
23 F?AE??0.25?3.14?10?210?10?（3）求变形后的壁厚
???????0.3?0.001??3?10'?4253?10?4?13737.5(N)?13.74kN
6
?(R?r)R?r????3?10'?4
?(R?r)?(?3?10?4)?(60?30)??0.009mm 变形厚的壁厚：
??(R?r)?|?(R?r)|?30?0.009?29.991(mm)
[习题2-11] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,?，试求C与D两点间的距离改变量?CD。 解：?'???????F/AE???FEA
式中，A?(a??)2?(a??)2?4a?，故： ???
?aa'F?4Ea?'
F?4Ea?????'
?a?a?a??a?a?'F?4E?F?4E?2
14512CD?(2a)?(3a)342?a
CD?''(2a')?(3a')3422?14512a'
?(CD)?CD?CD?''14512(a?a)??'14512?F?4E???1.003?F?4E?
[习题2-12] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E?210GPa，
22已知l?1m，A1?A2?100mm，A3?150mm，F?20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。
解：（1）求各杆的轴力
以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以
?X?0
o N3cos45?0
N3?0
受力图
7
由对称性可知，?CH?0
N1?N2?0.5F?0.5?20?10(kN)
（2）求C点的水平位移与铅垂位移。
A点的铅垂位移：?l1?N1lEA1N2lEA2?变形协调图 10000N?1000mm210000N/mm22?100mm?0.476mm
B点的铅垂位移： ?l2??10000N?1000mm210000N/mm2?100mm2?0.476mm
1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到：
C点的水平位移：?CH??AH??BH??l1?tan45o?0.476(mm) C点的铅垂位移：?C??l1?0.476(mm)
[习题2-13] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力F?35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d1?12mm和d2?15mm，钢的弹性模量E?210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。 解：（1）求AB、AC杆的轴力
以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：
?X?0：NACsin30?NABsin45oo?0
NAC?
2NAB………………………(a)
oo?Y?0：NACcos30?NABcos45?35?0
3NAC?2NAB?70………………(b)
(a) (b)联立解得：
NAB?N1?18.117kN；NAC?N2?25.621kN （2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移
12F?A?N1l12EA1N1l1EA122?N2l22EA2N2l2EA222
?A?1F(?)
式中，l1?1000/sin45o?1414(mm)；l2?800/sin30o?1600(mm)
8
222 A1?0.25?3.14?122?113mm；A2?0.25?3.14?15?177mm
故：?A?135000(181172?1414210000?113?256212?1600210000?177)?1.366(mm)
[习题2-14] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d?1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为??0.0035，其材料的弹性模量E?210GPa， 钢丝的自重不计。试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；
（2）钢丝在C点下降的距离?； （3）荷载F的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力
??E??210000?0.0035?735(MPa) （2）求钢丝在C点下降的距离? ?l?NlEA???10001003.5lE?735??7(mm)。其中，AC和BC各3.5mm。
2100002000?? cos?0.99651220 7)?4.7867339
oo ??arccos(10001003.5 ??1000tan4.7867339?83.7(mm)
（3）求荷载F的值
以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
?Y?0：2Nsina?P?0
P?2Nsina?2?Asin?
?2?735?0.25?3.14?1?sin4.78720?96.239(N)
[习题2-15] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：
d(?l)?FdxEA(x)FEA(x)xl
?l??l0dx?FE?ldxA(x)0
r?r1r2?r1?
r?r2?r1l?x?r1?d2?d12lx?d12
9
d??d?d12A(x)???2x?1????u
2l2??2d(d2?d12l2lx?d12)?du?d2?d12ldx
dx?d2?d1du
2ldxA(x)?d2?d1??u2du?2l?(d1?d2)dx?FE?(?duu2)
因此， ?l??lFEA(x)0?ldxA(x)0?2Fl?E(d1?d2)?l0(?duu2)
??1???E(d1?d2)??u?02Fll??2Fl1??d?E(d1?d2)?d2?d1x?1?2?2l??? ???0l???2Fl11?????
dd1?E(d1?d2)?d2?d1?l?1?22??2l???22????
?E(d1?d2)?d2d1?2Fl4Fl??Ed1d2
[习题2-16] 有一长度为300mm的等截面钢杆承受轴向拉力F?30kN。已知杆的横截面面积
2A?2500mm，材料的弹性模量E?210GPa。试求杆中所积蓄的应变能。
解：U?Nl2EA2?300002N?0.3m222?210000N/mm?2500mm2?0.257(N?m)
[习题2-17] 两根杆A1B1和A2B2的材料相同，其长度和横截面面积相同。杆A1B1承受作用在端点的集中荷载F；杆A2B2承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度f?能。 解：（1）求（a）图的应变能
Fl。试比较这两根杆内积蓄的应变
10