量子力学思考题
1、以下说法是否正确：
（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；
（2）量子力学适用于?不能忽略的体系，而经典力学适用于?可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或?可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，
二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？
解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数
?(r)，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过?(r)而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函
数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设?1和?2是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由?1和?2的线性叠加??c1?1?c2?2来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由?2??**?c1?1?c2?2确定，?中出现有?1和?2的干涉项2Re[c1c2?1?2]，c1和c2的
22模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果?1和?2是体系的可能态，则它们的线性叠加??c1?1?c2?2也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现?(x,t)?c1(t)?1(x)?c2(t)?2(x)；
（2）对其中的c1与c2是任意与r无关的复数，但可能是时间t的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时c1(t)与c2(t)按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ?(x,t)?c1(t)?1(x,t)?c2(t)?2(x,t) 已知?1和?2是体系的可能态，它们应满足波方程式 i????1??2?H?1 i??H?2 ?t?t 如果?1和?2的线性叠加?(x,t)?c1(t)?1(x,t)?c2(t)?2(x,t)也是体系的可能态，就必须满足波方程
式 i????H?，然而， ?t 1
i???dc??2dc????1?i??c1??11?c2??22??tdt?tdt???t dc??dc?c1H?1?c2H?2?i???11??22?dt??dt 可见，只有当
dc1dc2????0时，才有i??H(c1?1?c2?2)?H?。 dtdt?t因此，?(x,t)?c1(t)?1(x,t)?c2(t)?2(x,t)中，c1与c2应是任意复常数，而不是时间t的复函数。如上式中?态不含时间，则有?(x)?c1?1(x)?c2?2(x)。
5、（1）波函数?与k?、ei??是否描述同一态？
（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？?1??2;c1?1?c2?2;c1e这里c1,c2是复常数，?1,?2是实常数。
解答：（1）?与k?、ei??描述的相对概率分布完全相同，如对空间x1和x2两点的相对概率
i?1?1?c2ei??2
2
?(x1)?(x2)22?k?(x1)k?(x2)22?ei??(x1)ei??(x2)22，故?与k?、ei??均描述同一态。
i?（2）由于任意复数c?ce，以及 c1?1?c2?22***?c1?1?c2?2?c1c2?1?2?c1c2?1*?2
22显然，只有当复数c1?c2?c，即c1?c2?c，且e ?1??2,i?1?ei?2?ei?时，
c1?1?c2?2?c(?1??2),c1ei?1?1?c2ei?2?2?c(?1??2)ei?均描述同一态。
6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？
解答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动能的量度。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义的，也是没有必要的。 7、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？
解答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。
下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。 如果体系处于?(x)中，则它的位置平均值为
2
x??(x)xdx 类似地，它的动量的平均值也可表示为 p??(x)pdx
若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。 p??(p)pdp 利用?(p)??2?2?21?(x)e?ipx/?dx有 1/2?(2??)1eipx?/??*(x?)p?(x)e?ipx/?dx?dxdp ???2?? p? 作代换pe?ip/x???ip/x?e，并对p,x?积分得（推广到三维） ?x?*? p???(r)(?i??)?(r)d?
?i? 可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符?i??相当。实际上，任何一个力学量
在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。
用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。
力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。 8、力学量之间的对易关系有何物理意义？
解答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理含义。对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如[L?,L?]?i?????L?，就可作为角动量的定义。 9、什么是力学量的完全集？它有何特征？
解答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（F1,F2,?），它们的共同本征函数系为(?n1,?n2,?)，如果给定一组量子数(n1,n2,?)就可以确定体系的一个可能态，那么，就称（F1,F2,?）为体系的一个力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组(n1,n2,?)所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。 10、何谓定态? 它有何特征？
解答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。若势场恒定
3
?V?0，则体系可以处于定态。 ?t定态具有以下特征:
（1）定态波函数时空坐标可以分离，?(r,t)??(r)e?iEt/?，其中?(r)是哈密顿量H的本征函数，而E为相应的本征值；
（2）不显含时间t的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。
注意，通常用?(r)表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。 11、（1）任意定态的叠加一定是定态。理由如下：
定态的线性叠加 ?(x,t)??????c?nnn(x)e?iEnt/?
2?(x,t)态中平均值E???*H?dx??cnEn与t无关，所以叠加态?(x,t)是定态。
n（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。以上说法正确吗？ 解答：（1）能量不同的定态的叠加态?(x,t)?但位置概率密度W(x,t)??(x,t)?再具有定态的特征，是非定态。
（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态?(x,t)?程的解。因此，只能说定态解（H不显含时间t）是体系含时波动方程i??iEnt/?仍是波动方c?(x)e?nnn2*nm?iEnt/?中，不具有确定的能量值，尽管E与t无关，c?(x)e?nnn*n?cc?n,m(x)?m(x)ei(En?Em)t/依赖于时间t，这表明任意定态的叠加不
???H?的解，但不能说该体系?t的含时波动方程的解都是定态解。由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程H??E?中明显出现E，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。
12、什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。 解答：当粒子被势场约束在特定的区域内运动，即在无限远处波函数等于零的态叫束缚态。 束缚态的能级是分立的。例如，一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化的能级。但束缚 态不一定是定态，例如限制在一维盒子中的粒子，最一般的可能态是一系列分立的定态叠加而 成的波包，这种叠加态是没有确定能量的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，但定态也 可能有非束缚态，例如在散射中，粒子并不局限于有限区域，但粒子处于能量本征态，这时粒 子处于非束缚态，或者说粒子处于散射定态（简称为散射态）。 13、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质——波粒二象性？
解答：对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语，这本身既反映了经典物理概念的局限性，又反映了我们语言的局限性。我们可以认为，物质兼具粒子性和波动性，但确切地说，它们既不是经典波，也不是经典粒子，经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论借用，不确定性关系就反映了这种修正，它给出了这两个概念能够被有效借用的限度，如?x??p??给出了用粒子图像描述物质的局限性。 214、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。
解答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，如果力学量
A的本征函数为?1,?2,??n，相应本征值为A1,A2,?An。任意态矢?可展开为
???an?n
n 4
态矢?在A表象的表示为展开系数?an?组成的一列矩阵
?a1????a2? ????
????a??n?其意义是：在?态中，力学量A取值An的几率为an，与坐标表象波函数的意义相类似。
力学量用厄密矩阵表示
2
?A11??A21 A?????A?n1A12A22?An2A1n???A2n? Aij?(?i,A?j)
?????Ann???可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。
用矩阵表示力学量，理由如下：
（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。设?(x)?A?(x)，则
?b1??A11????b2??A21 ??????????b??A?n??n1A12A22?An2A1n??a1?????A2n??a2? 简记为b?Aa；
????????????Ann???an?? （2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；
（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。
15、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?
解答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值
?A1??0 A?????0?本征矢为单一元素列矩阵
0?0??A2?0? ?????0?An???1??0?????0???1? ?1??? ?2??? ???
???????0??0????????p16、设H??V(x)，分别在坐标和动量表象中写出x,px,H的矩阵元。
2???2x解答：（1）坐标表象基矢为?(x??x) xx?x????x?|x|x????x??(x??x??)
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