1?1?1? 求解可得 E1?mc?? |?1??(|n??|n?) ?1???2??22 E2?mc2?? |?2??1?1?1?(|n??|n?) （5分） ??1???2??2 从而可写出 |?(t)??Ae?iE1t/?|?1??Be?iE2t/?|?2?
?1? 已知 |?(0)??c1|?1??c2|?2????0?? （中子态）
?? 则 c1???1|?(0)??1?11?? ?11?????22?0??1?11? c2???2|?(0)?? （5分） ?1?1?????022?? 所以 |?(t)??12e?iE1t/?|?1??12e?iE2t/?|?2?
1?imc2t/???i?t/??1?i?t/??1?? ?e???e?1???e??1??? 2???????t??cos???imc2t/???? ?e?t???isin????? ?e?imc2t/???t?1??t?0???cos??0???isin???1??? ???????2?t??t? ?e?imct/??cos|n??isin|n??
???? 由此可见t时刻n?n的几率为sin2
?t? （5分）
四、（30分）无限高势阱中的粒子
质量为m的一个粒子在边长为a立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：
??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V??
?,others??（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?）求系
统能量本征值和归一化波函数；
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（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。 （3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多
少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；
（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能
是多少？并写出归一化系统基态波函数。
2 解：（1）定态薛定谔方程：?2??2??x,y,z??E??x,y,z?
分离变量：??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?，E?Ex?Ey?Ez
?2d2X?x????EXx???X?x???x22?dx??2???2dY?y??；?EYy?????Y?y??y22?dy??2?2dZ?z?????Z?z???EzZ?z?2????2?dz2?m?x?sin??a?a?2?n?y?sin??a?a?2?l?z?sin??a?a?22??2E??x2?a2m?22??2?n ；?Ey?22?a?22??2l?Ez?22?a???2???x,y,z?????a?23/2?m?x??n?x??l?x?sin??sin??sin?? ?a??a??a?Emnl?2222?m?n?l?，m,n,l?1,2,3,... 2?2?a32?2基态：E0?2E111?，基态波函数：
?a2?A?r1,s1z;r2,s2z???111?x1,y1,z1??111?x2,y2,z2??A??x???y???z???x???y???z??2????sin?1?sin?1?sin?1?sin?2?sin?2?sin?2? ?a??a??a??a??a??a??a?1??????s1z????s2z?????s1z????s2z???2332?2（2）系统基态能量：E0?E111?，简并度：1
2?a2第一激发态能量：E1?E211?E121?E11232?2，简并度：3 ?2?a（3）电子是费米子，波函数应是反对称的：
?A?r1,s1z;r2,s2z???S?r1,r2??A?s1z,s2z?
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
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32?2（4）玻色子可占据相同态，基态：E0?2E111?，基态波函数：
?a2?S?r1,r2???111?x1,y1,z1??111?x2,y2,z2???x1???y1???z1???x2???y2???z2? ?2????sin??sin??sin??sin??sin??sin???a??a??a??a??a??a??a?3
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