px?x????x?|p|x?????i? Hx?x????(x??x??) ?x???2?2????x?|H|x???????V(x)?(x??x??) ?2?2m?x?? （2）动量表象基矢为?(p??p) xp?p????p?|x|p????i???(p??p??) ?p? pp?p????p?|p|p????p??(p??p??) Hp?p???p?2???????p?|H|p??????V?i???(p??p??) ?????p???2m17、试将坐标表象与动量表象加以比较，再由坐标表象的定态薛定谔方程直接写出其在动量表象的表达式。
解答：坐标表象与动量表象是一对共轭表象，表示形式十分类似 x表象 px表象 x： x i???? ?px px： ?i??? px ?x x 本征态： ?(x?x?)
1e?ipxx/? 2?? px本征态：
??1eipxx/? ?(px?p?x) 2??? 一般波函数?在x表象的表示?(x,t)与在px表象的表示?(px,t)之间的关系为
1ipxx/??(p,t)edpxx?2??
1?ipxx/??(px,t)??(x,t)edx?2???(x,t)? 可见，只要令有关表达式中i??i,x?px，便可由一个表象转到另一个表象；两个表象波函数在傅立叶变换中互为镜像。
定态S-eq在动量表象的表示
?p2???? ??V??i??p????(p)?E?(p) 2m????18、已知一维谐振子在坐标表象的能量本征函数?n(x)，不用计算，直接写出其在动量表象的能量本征函数
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?n(p)。
解答：一维谐振子的哈密顿量为 H? 其中
11p2?(?2?x)2?m?2(?2?p)2?x2 2m2??????m?/? ??1/m?? 可见，H对于x和p是对称的，差别在于?和?不同，因而，
?n(?,p)和?(?,x)的形式应当完全一样。
已知 ?n(?,x)?Nne?? 故有
22x/2Hn(?x) Nn?[?/2nn!?]1/2 Hn(?p) Nn?[?/2nn!?]1/2
?n(?,p)?Nne??22p/219、写出能量表象的薛定谔方程表达式。 解答：薛定谔方程在Q表象的表示为
?a1(t)??a1(t)???????a2(t)??a2(t)? i?? ?(H)??????t?????????????? 对于能量表象
?E1??0 (H)??0??0?000??E200? ?0?0?00???da(t)?Enan(t) 所以能量表象的薛定谔方程表达式为 i?ndt20、狄拉克符号中，引入了右矢
?，为什么又引入左矢?，右矢和左矢能够相加吗？
解答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数?和?的内积
(?,?)???*?d?，|??和|??的内积记为??|??，??|是对应于|??的左矢，属于伴随空间的
一个矢量。由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。 21、（1）(AB|??)???|BA （2）|?????|?? （3）如??是F的本征矢，则??|F?F???| （4）算符Pn?|n??n|的物理意义是什么？公式
??????????|n.?n|?1成立的条件是什么？
n 算符Pn?|n??n|的物理意义在于，它作用于任何态矢上得到该态矢在基矢|n?方向的投影
矢量，Pn|A??|n??n|A??An|n?；且Pn?|n??n|称 n?|n??n|n??n|?|n??n|?Pn，故P2 7
为投影算符，An??n|A?是投影数值。公式
?|n.?n|?1成立的条件是基矢集?|n??组成正
n交、归一、完备系，任意态矢均可按?|n??唯一展开|A???nAn|n???|n??n|A?，由于
n|A?为任意态矢，故得到?Pn??|n??n|?1，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性
nn关系。
22、简述定态微扰论的基本思想。
解答：量子力学体系的哈密顿算符H不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 H??E?时，若可以把不显函时间的H分为大、小两部分H?H?????(0)?H? |H??(0)|??|H?|，其中 H??(0)(0)(0)(0)?n?En?n，即
H?(0)(0)(0)的本征值En和本征函数?n是可以精确求解的，或已有确定的结果。
?满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数?（0???1），将微扰写成 ?H?，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以?的幂级数展开
(0)(1)(2)?En?En??En??2En?? ? (0)(1)2(2)??n??n???n???n??E与?(0)n(0)是未受微扰时n称为零级近似能量和零级近似波函数，
H?(0)的本征能量和本征函数，也是我们求解
微扰问题的必备基本条件，后面各项按?的幂次称为一级修正、二级修正、?。 23、非简并定态微扰论的适用条件是什么？
(0)(0)?n|??|En解答：非简并定态微扰论的适用条件为|Hm?Em|，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间(0)(0)隔|En?Em|较大。
24、证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。 解答：能量的二级修正E(2)n??m?|2?|Hnm(0)，若为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中m?nEn(0)(0)En?Em(0)(0)(2)的任一项En永为负值。 ?Em?0，故En25、简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级情况可用非简并态微扰处理？ 解答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数
(0)(0)?一般说来是不能完全确定的。对于f度简并能级Ek,如选择的f个独立的?k?已使H对角化， )(0)(0)????，此时Ek(1?即??k?|H?|?k???H????H??，对应的零级近似波函数为?k?，虽然能级Ek是
(0)(0)简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。
26、若总哈密顿量H在H0表象中为非对角矩阵，物理上意味着什么？若H在H0表象中为对角矩阵，又意
味着什么？
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????解答：H在H0表象不是对角矩阵，表示二者不对易，显然H?和H0亦不对易，无共同本征态， 这时需要另求H的本征态。若H在H0表象中为对角矩阵，说明二者对易，这时H?和H0亦对易， 即H0的本征态是它们的共同本征态，使求解大为简化。
27、量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同?
解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程
??????????i???(x,t)?H?(x,t)具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求?t解。
28、自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？ 解答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。
（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。
29、电子Sz的本征态常被写为????0??，????1??；它们的含义是什么？
?????1??0??a?1?m????解答：Sz的本征态是自旋波函数???的特例。由于在的本征态中，本征值仅有与量子数Ssz?b?22??对应，分别记为?1(sz)?????0??，??1(sz)?????1??；?,?是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正
????22?1??0??a?交完备基矢，以此为基矢的表象为Sz表象。任一自旋态????b??在Sz表象中可展开为??a??b?。
??30、对于自旋为1/2的粒子，是否存在态????b??，在其中Sx?Sy?Sz?0？
???a?0??a??a?22?**?1?????解答：首先令在???态中，??????ab?a?b?0 zz?0?1??b??b????????? 设a?11i?1?1???； 再由?x?0?co?,b?e，得??s?0 i???222?e?
?y?0?sin??0 由于?无法同时满足cos??sin??0，所以，对于自旋为1/2的粒子，使
Sx?Sy?Sz?0态是不存在的。
31、微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变”。问：
（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？ （2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？
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（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？ 解答：
（1）物理状态不变是指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变；
（2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中交换两个粒子的包括自旋在内的全部坐标；
（3）实质相同。所以，全同性原理往往也被称为不可区分（分辨）原理。
1、二维空间哈密顿算符H?在能量表象中的矩阵表示为
??E(0) H?1a???aE(0)? 2?? 其中a为实数。
（1）用微扰公式求能量至二级修正； （2）求能量精确解。
解：（1）首先看H?的矩阵元
H???mn??m|H|n???m|(H(0)|n???m|H?n?
?E(0)?m|n???m|H??|n??E(0)nn?mn?H?mn (0)??E0? 即H(0)在自身表象为对角矩阵，本问题H可写为 H???1E(0)????0?0?2???a 于是可得微扰矩阵元 H11??H22??0 H12??H21??a 所以E(1)???|H??H?0 E(2)m1|2|H?21|2a21111(0)(0)?(0)(0)?(0)(0)m?1E1?EmE1?E2E1?E2 E(0)(1)a21?E1?E1?E(2)1?E(0)1?E(0)?E(0)
12 同理可得 E(0)(1)2?E2?E2?E(2)2?E(0)a22?E(0)(0)
2?E1
10
a?0???