?E1????（2）设H的本征矢为?????，则本征方程为 ?a????(0)a????????????E? ???(0)??E2????????(E1(0)?E)??a??0 即有 ? (0)a??(E?E)??02?E1(0)?Ea?0 ?、?有非零解的条件是 (0)aE2?E由此可得关于本征值E的二次方程
E2(0)(0)?(E1(0)?E2)E?[(E1(0))(E2)?a2]?0 故本征值为
E?1(0)(0)(0)2(0)E1?E2?(E1(0)?E2)?4[(E1(0))(E2)?a2] 将根号整理展开得 2(0)1?? (E?E)?4a?E(0)222(0)1?E2(0)22a2?(0)?? (0)E1?E2?(0)a2???E1?E1?(0)(0)?E1?E2（10分） ??2a(0)?E2?(0)???E2(0)?E?E12?所以E??1?(0)2a(0)(0)(0)E?E?(E?E????1?212(0)2?E1(0)?E2?六、假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：V????B，这里???gse（gs?2）为电子的磁矩。 s，2me???； ??H?t（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：i（2）假设t?0时，电子自旋指向x轴正向，即sx?2，求t?0时，自旋s的平均值；
（3）求t?0时，电子自旋指向y轴负向，即sy??的几率是多少？
2 解：（1）因不考虑电子轨道运动，H?T?V?gs是玻尔磁子。
eee，?zB??zB??B?zB；这里?B?2me22me2me0?0???BB????BB?所以哈密顿为：H??B?zB??，薛定谔方程为i???? ?0???BB???BB??t?0?
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（2）在?z表象中求解，自旋波函数可表示为：
0??a???a??1??0???a???BB?ia?t???BBa?t? ?????a???b???a???b?? ，i?????，?????BB??b???t?b??0?b??0??1??ib?t????BBb?t??BeB??B???B?。 a?t??a?0?exp?Bt??a?0?e?i?t，b?t??b?0?exp??Bt??b?0?ei?t，??B?2mii????e设t?0时，电子的自旋指向x轴正向，即?(0)?11?1??? a(0)?b(0)???22?1?1?e?i?t?所以 ??t???i?t?
2?e?时刻t
sx??212ei?t12e?i?t??01?????10????12e?i?t???i?t?1e2?2?12e?i?t12ei?t?????12e?i?t??i?t?1e2?
1?1???e?2i?t?e2i?t??cos2?t2?22?2sy??212ei?t12e?i?t??0?i?????i0????12e?i?t???i?t?1e2?2?i2e?i?t?i2ei?t?????12e?i?t??i?t?1e2?
1?1??i?e?2i?t?e2i?t??sin2?t2?22?2sz??212ei?t12e?i?t??10?????0?1????212e?i?t???i?t?1e2?2?12ei?t?12e?i?t?????12e?i?t??11???????0 i?t?12e?22?2?所以：s(t)?ex2cos2?t?eysin2?t?0
（3）假设t时刻，sy??的几率为P，则sy?的几率为1?P，
221?sin2?t?? sy?P?????1?P???P??sin2?t，所以：P?22222??
3、（20分）中子n和反中子n的质量都是m，它们的态矢|n?和|n?可以看成是一个自由哈密顿量H0的简并态： H0|n??mc2|n? H0|n??mc2|n?设有某种相互作用H?能使中子与反中子互相转变： H?|n???|n? H?|n???|n?其中，???*。试求t?0时刻的一个中子在t时刻变为反中子的几率。
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解：选取H0表象，基矢为|1??|n? |2??|n? 则H?H0?H?在H0表象的矩阵元 H11??1|H0?H?|1???n|H0?H?|n??mc2
* H12??1|H0?H?|2???n|H0?H?|n??? H21?H12??
??????????? H22??2|H0?H?|2???n|H0?H?|n??mc2 （5分）
???? 定态方程 H?|???E|?? 即??mc2???c???1???mc2??c1??????c2???E??c?2?? 求解可得 E1?mc2?? |?1?1??2?1??1?1????2(|n??|n?) E21?2?mc?? |?2??2?1??1??1????2(|n??|n?) 从而可写出 |?(t)??Ae?iE1t/?|?1??Be?iE2t/?|?2?
已知 |?(0)??c?1?1|?1??c2|?2?????0??? （中子态）
则 c1???1|?(0)??12?11???1???0??1??2 c0)??1?1?2???2|?(2?1?1????0????12 所以 |?(t)??1iE1t/?2e?|?1??12e?iE2t/?|?2?
?1?imc2t/???i?t/??1?2e?e???i?t/???1????e?1?????1???? ???t? ?e?imc2t/???cos?????t? ??isin???? ?e?imc2t/???cos?t??1??t?0?????0???isin????1???? ??? ?e?imc2t/????t?cos?t?|n??isin??|n???
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（5分） （5分） 由此可见t时刻n?n的几率为sin2
?t? （5分）
六、（30分）无限高势阱中的粒子
质量为m的一个粒子在边长为a立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：
??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V??
?,others??（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?）求系
统能量本征值和归一化波函数；
（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。 （3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多
少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；
（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能
是多少？并写出归一化系统基态波函数。
2 解：（1）定态薛定谔方程：?2??2??x,y,z??E??x,y,z?
分离变量：??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?，E?Ex?Ey?Ez
?2d2X?x???ExX?x??X?x????22?dx??22??dY?y???；?EYy?????Y?y??y22?dy??2?2dZ?z?????Z?z???EzZ?z?2????2?dz2?m?x?sin??a?a?2?n?y?sin??a?a?2?l?z?sin??a?a?22??2E??x2?a2m?22??2?n ；?Ey?22?a?22??2l?Ez?22?a???2???x,y,z?????a?23/2?m?x??n?x??l?x?sin??sin??sin?? ?a??a??a?Emnl?2222?m?n?l?，m,n,l?1,2,3,... 2?2?a32?2基态：E0?2E111?，基态波函数： 2?a 14
?A?r1,s1z;r2,s2z???111?x1,y1,z1??111?x2,y2,z2??A??x???y???z???x???y???z??2????sin?1?sin?1?sin?1?sin?2?sin?2?sin?2? （6分） ?a??a??a??a??a??a??a?1??????s1z????s2z?????s1z????s2z???2332?2（2）系统基态能量：E0?E111?，简并度：1 22?a第一激发态能量：E1?E211?E121?E11232?2，简并度：3 （6分） ?2?a（3）电子是费米子，波函数应是反对称的：
?A?r1,s1z;r2,s2z???S?r1,r2??A?s1z,s2z?
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
（8分）
32?2（4）玻色子可占据相同态，基态：E0?2E111?，基态波函数： 2?a?S?r1,r2???111?x1,y1,z1??111?x2,y2,z2???x1???y1???z1???x2???y2???z2? （8分） ?2????sin??sin??sin??sin??sin??sin??aaaaaa?????????????a?3
五、（20分）中子n和反中子n的质量都是m，它们的态矢|n?和|n?可以看成是一个自由哈密顿量H0的简并态： H0|n??mc2|n? H0|n??mc2|n?设有某种相互作用H?能使中子与反中子互相转变： H?|n???|n? H?|n???|n?其中，???*。试求t?0时刻的一个中子在t时刻变为反中子的几率。
解：选取H0表象，基矢为|1??|n? |2??|n? 则H?H0?H?在H0表象的矩阵元 H11??1|H0?H?|1???n|H0?H?|n??mc2
* H12??1|H0?H?|2???n|H0?H?|n??? H21?H12??
??????????? H22??2|H0?H?|2???n|H0?H?|n??mc2 （5分）
?mc2 定态方程 H|???E|?? 即??????????c1???????E ???2??mc??c2??c2?15
???c1?