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习题11
11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷q1?1.8?10?9C，B点上有电荷
q2??4.8?10?9C，试求C点的电场强度(设BC?0.04m，AC?0.03m)。
?解：q1在C点产生的场强：E1??q2在C点产生的场强：E2?q124??0rAC?i，
?q2j， 24??0rBC??i?????∴C点的电场强度：E?E1?E2?2.7?104i?1.8?104j；
2C点的合场强：E?E12?E2?3.24?104V?jm，
方向如图：??arctan1.8?33.7??33?42'。 2.7?911-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12?10C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为l?2?r?d?3.12m，
∴电荷线密度：??OR??2cmxql?1.0?10?9C?m?1
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
dEOx??14??0??Rd?R2cos?，
∴EO????cos?d?????d?1； ?2sin???2???0.72V?m24??0R4??0R4??0R解法2：直接利用点电荷场强公式：
?11由于d??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?10C，
2.0?10?11则圆心处场强：EO??9.0?10??0.72V?m?1。 224??0R(0.5)q?9方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。
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解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A?在O点的场强：
???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0有：?
???E?(sin?sin?)Ay?4??0R2?②对于半无限长导线B?在O点的场强：
x?Ey???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0有：?
???E?(cos?cos?)By?4??0R2?③对于AB圆弧在O点的场强：有：
?????2E?cos?d??(sin?sin?)?ABx?04??R4??R2?00 ???E?2?sin?d????(cos??cos?)?ABy?04??R4??0R20?∴总场强：EOx??????，EOy?，得：EO??(i?j)。
4??0R4??0R4??0R22EOx?EOy?或写成场强：E?2??，方向45。
4??0R11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，求环心处O点的场强E。
解：电荷元dq产生的场为：dE?dq；
4??0R2?Ydq?d?Ro?dEX根据对称性有：dEy?0，则：
?E??dEx??dEsin?????0?Rsin?d???，
4??0R22??0R方向沿x轴正向。即：E???i。
2??0R11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为???0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴
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所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。 解：如图，dE??0sin?d??dl， ?24??0R4??0R??dEx?dEcos?考虑到对称性，有：Ex?0； ?dE?dEsin???y∴E?dEy?dEsin??方向沿y轴负向。
11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心O处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl?Rd?，所带电荷：dq?2?r?dl。 利用例11-3结论，有：dE?????0?0sin2?d??0?0?(1?cos2?)d?， ??4??0R4??0R?028?0Rxdq4??0(x2?r)322???2?rxdl4??0(x2?r)322
∴dE???2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)?(Rcos?)]2232，
r?Ox?化简计算得：E?2?0??20???1?i。 sin2?d??，∴E?4?024?011-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设
原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面，
??d当x?时，由??S1E?dS?2E??S和?q?2x??S， 2有：E??x； ?0??E?dS?2E??S和?q?2d??S，
?d2?d2?0?E当x?d时，由??S22O?d2x有：E??d。图像见右。 2?0?d2?011-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)， 平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面
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为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r?球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd? ∴球冠面的面积：S?d2?R2， rd??rsin?Odr??02?rsin??rd??2?rcos?20cos??
xd?2?r2(1?)】
r∵球面面积为：S球面?4?r2，通过闭合球面的电通量为：?闭合球面?q?0，
由：
?球冠?球面?S球面S球冠，∴?球冠?1dqqd(1?)??(1?)。
222r?02?0R?d11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的
场强分布，并作E~r关系曲线。 解：由高斯定律
???S??1 E?dS??qi，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯面。
?0S内?r??r2l（1）当r?R时，2?rl?E?，有E?；
2?0?0??R2l?R2（2）当r?R时，2?rl?E?，则：E?；
?02?0r??r?2?(r?R)?0即：E??； 2??R(r?R)??2?0r图见右。
E?R2?0oRr11-10．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。 解：利用高斯定律：
???S??1E?dS??qi。
?0S内（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0；
?l?，则：E2?； ?02??0r（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；
（2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE2? 57
??E?0?????即：E??E?r??2??0r?E?0?r?R1R1?r?R2。 r?R211-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离
OO??d，如图所示。求：
（1）在球形空腔内，球心O?处的电场强度E0；
（2）在球体内P点处的电场强度E，设O?、O、P三点在同一直径上，且OP?d。
解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为?的大球和带有电荷体密度为??的小球的合成。
（1）以O为圆心，过O?点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：
???43?d，方向从O指向O?； E?dS???dE??0??S1?033?0（2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有：
???43?d，方向从O指向P， E?dS???dE??P1??S1?033?0过P点以O?为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有： ???43?r3??S2E?dS???0?3?r?EP2??3?0d2，
?r3∴E?EP?EP?(d?2)，方向从O指向P。
3?04d???11-12．设真空中静电场E的分布为E?cxi，式中c为常量，求空间电荷的分布。
12解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有：
???S??E?dS?cx0??S
z由高斯定理：
???S??1E?dS??0?q，
S内ox00?S设空间电荷的密度为?(x)，有：cx0∴
???S??(x)?Sdx?0y x0x?x00?(x)dx???0cdx，可见?(x)为常数????0c。
0x011-13．如图所示，一锥顶角为?的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为?，求顶点O的电势．(以无穷远处为电势零点)
解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：r?xtan?2，环面圆宽：dl?dxcos?2
?dx， dS?2?r?dl?2??xtan??2cos2利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式：