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解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用E0?直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为E0??130V，所以：
?考察，选竖?0E'??25???0E?8.85?10?12?(?130)??1.15?10?9Cm2；
（2）如图，由高斯定理
???S??1E?dS??qi，有：
?Sh?1.5kmE0??130?0S内??1.5?10?h?S，则：?25?(?130)?， ?128.85?10?0得：??6.2?10?13Cm3。
E'?S?E0(??S)?3地面12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆
筒(外)构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴
为r处(R1 ?R2R2R1?， 2??0rR??dr?ln2 2??0r2??0R1?R1R2(V?V)??12 2??0ln(R2R1)同理，r处的电势为：Ur?V2?∴Ur?V2??rR??dr?ln2（*） 2??0r2??0rRln(R2r)?ln2?(V1?V2)?V2。 ln(R2R1)2??0rV1V2【注：上式也可以变形为：Ur??V1?(V1?V2)式用：V1?Ur?ln(rR1)，与书后答案相同，或将（*） ln(R2R1)?rR1??rdr?ln计算，结果如上】 2??0r2??0R112-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将 两者相连接，并给系统带上电荷Q，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等： 4??0raqa?4??0rbqb┄①，再由系统电荷为Q，有：qa?qb?Q┄② QaQb，qb?； a?ba?bQQQQ??（2）根据电容的定义：C?（或C?），将（1）结论代入， UqaUqb4??0a4??0b有：C?4??0(a?b)。 12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 Q解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：E?， 4??0r2两式联立得：qa? 64 b?a， ?aa4??r24??ab00abUQUab?2。 ∴，那么，场强表达式可写为：E??b?ar4??0b?abU因为要考察内球表面附近的场强，可令r?a，有：Ea?， (b?a)adEabU?0时，出现极值，那么：?将a看成自变量，若有(b?2a)?0 da(ab?a2)2b4U得：a?，此时：Eamin?。 2b12-12．一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d．接上电源后，A板电势UA?V，B板电势UB?0．现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C的电势。 dd????解：由题意，V?EAB??EBC?，而：EAB?A，EBC?A 22?0?0q?dqdqd?0且??，∴V?A?，则：?A?(V?)。 S?02?0S2?0Sdd???d导体片C的电势：UC?UCB?ECB??A?， 2?021q∴UC?(V?d)。 22?0S而电势差：U?b??bE?dr??Qdr?Q?12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球r1?R，大球r2?4R，两球各自带有电量为q，有： 接触之前的电势能：W0?q24??0R?q24??04R； （2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为q1，大金属球带电为q2， 有： q14??0R1?q24??0R2┄①和q1?q2?2q┄②，①②联立解得：q1?21222q8q，q2?。 5542642qqqq16??25?25?W0。 那么，电势能为：W?4??0R4??04R4??0R4??04R25习题13 13-1．如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿x轴)。 yRx（1）P?P0；（2）P?P0。 R??解：可利用公式q'?????P?dS?????Pcos?dS算出极化电荷。 SSO?x?dS?P首先考虑一个球的环形面元，有：dS?2?Rsin?(Rd?)， （1）P?P0时，由?'?Pcos?知?1'?P0cos?， yR?Ox?Rcos??r?Rsin?x 65 q1'???P0cos??2?Rsin?d???0?2?R2P02??0sin2?d2??0； （2）P?P0?0xxRcos?cos??P0cos2?， 时，?2'?P0cos??P0RRR222q2'???P0cos??2?Rsin?d??2?RP0?cos2?dcos? 0?4?R2P0。 0??32?713-2．平行板电容器，板面积为100cm，带电量?8.9?10C，在两板间充满电介质后， 6其场强为1.4?10V/m，试求：（1）介质的相对介电常数?r；(2)介质表面上的极化电荷密 ?2?R2P0?cos3?3度。 ?Q8.9?10?7解：（1）由E?，有：?r???7.18 ?0?r?0ES8.85?10?12?1.4?106?100?10?4（2）?'?P??0(?r?1)E?7.66?10?5Cm2 13-3．面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为为?r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为为原来的多少倍？ 解：（1）电介质外的场强为：E0?而电介质内的场强为：Er?d，相对介电常数3d的导电板，其电容量又变3d3?， ?0?r?， ?0?r?2?d所以，两板间电势差为：U??d??， ?03?0?r3?S3?0?rS3?rQ?SC那么，C?，而C0?0，∴； ???dUU(2?r?1)dC02?r?1d的导电板，可看成是两个电容的串联， 3?S3?S有：C1?C2?0?0， d/3dC1C23?0S3C3∴C??。 ??C0?C02C1?C22d2（2）插入厚度为 d3d313-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为?0与??(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E；（2）相对介电常数?r。 解：（1）由： ???0??'E?（∵?'给出的是绝对值） ?0????0?0?（2）又由E?0，有：?r?0?0?。 ?0?r?0E?0?0??'?0??'13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷 ???S??1E?dS????0?(q?q')，有： ?r 66 面密度为?，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为?r) 解：由q'??有：与 ???S????P?dS，考虑到P??0(?r?1)E， ???SS??E?dS???????E?dS?q'， ?0(?r?1)q?q'?0联立，有：?得：q'??(?r?1)q?r，∴?'??q'q?q'， ??0(?r?1)?0?r?1?r?。 13-6．如图所示，半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为?r，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。 解：利用介质中的高斯定理 ???S??D?dS??qi。 S内（1）导体内外的电位移为：r?R0，D?（2）由于E?Q；r?R0，D?0。 24?rD?0?r，所以介质内外的电场强度为： r?R0时，E1?0；R1?r?R0时，E2?D?0?Q4??0r2； R2?r?R1时，E3?D?r?0?Q4??r?0r2；r?R2时，E4?D?0?Q4??0r2。 13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为E0?200kV/m，试求该电容器可能承受的最高电压。 ?， 2??0?rrR?R??R?∴Ur??E?dr??dr?ln， rr2???r2??0?rr0rR?∵击穿场强为E0，∴?rE0，则Ur?rE0ln， r2??0?r解：由介质中的高斯定理，有：E?令 r?RdUrdrr?r0?0，有：E0lnRRR?E0?0，∴ln?1?r0?， er0r0∴Umax?r0E0lnRRE0??147KV。 r0e13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2的电介质，它们的相对介电常数为?r1和?r2，极板面积为S，求电容量。 解：∵D1?D2??，∴E1???，E2?， ?0?r2?0?r1?d1?d2而：U?E1d1?E2d2?， ??0?r1?0?r2?r1?r2 67 有：C??0S???SQ??0r1r2。 Ud1?d2?r2d1??r1d2?r1?r212?E计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电2R13-9．利用电场能量密度we?量为Q。 Qr?E?r?R?14??R3?0解：首先求出场强分布：E?? ?E?Qr?R22?4??r0??02?0R?0Qr22EdV?()4?rdr?∴W????22?04??0R32O???R(Q4??0r2)24?r2dr 3Q2。 ?20??0R13-10．半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0?10?8C时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用 导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布： ?E1?0?q?E2?4??0r2?E???E3?0?q?E3?4??0r2?r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3 R1?R2R3考虑到电场能量密度we?12?E，有：球与球壳之间的电能： 2?02?0R2qq211?422?1.01?10J W1????EdV??()4?rdr?(?)2R2214??0r8??0R1R2球壳外部空间的电能： W2?????02EdV?2?02??R3(q4??0r2)4?rdr?22q28??0R3?8.1?10?5J， ∴系统储存的电能：W?W1?W2?1.82?10?4J； （2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以W1'?0 而外表面所带电荷不变，那么：W'?W2?8.1?10J。 13-11．球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。（1）求电容器内电场的总能量； ?51Q2（2）证明此结果与按We?算得的电容器所储电能值相等。 2CQ解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：E?，（R1?r?R2） 4??0r212利用电场能量密度we??E，有电容器内电场的能量： 2