88
（2）对中心处，有：emax?d?2?，r?0，代入明纹位置表示式，有：kmax?4.5?4， 又因为是柱面平凹透镜，∴明纹数为8条；
（3）玻璃片B向下平移时，空气膜厚度增加，条纹由里向外侧移动。
18-11．利用迈克尔孙干涉仪可以测量光的波长。在一次实验中，观察到干涉条纹，当推进可动反射镜时，可看到条纹在视场中移动。当可动反射镜被推进0.187mm时，在视场中某定点共通过了635条暗纹。试由此求所用入射光的波长。
2d2?0.187?10?3??5.89?10?7(m)?589nm。 解：由d?N，??2N635?18-12．在用迈克尔逊干涉仪做实验时，反射镜移动了?l?0.3220mm距离。在此过程中观察到有1024条条纹在视场中移过。求实验所用光的波长。
2?l2?0.322?10?3??6.289?10?7(m)?628.9nm。 解：由?l?N，有：??2N1024?习题19
19-1．波长为546nm的平行光垂直照射在缝宽为0.437mm的单缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。 解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离：
2?f2?546?10?9?0.42?x???1.0?10?3m。 ?3a0.437?1019-2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为?的单色光的第三极亮纹与波长?'?630nm的单色光的第二级亮纹恰好重合，求此单色光的波长?。
?解：单缝衍射的明纹公式为：asin??(2k?1)，
2当?'?630nm时，k'?2，未知单色光的波长为?、k?3，重合时?角相同，所以有：
630nm?5?(2?3?1)，得：???630nm?450nm。 22719-3．用波长?1?400nm和?2?700nm的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中?1的第k1asin??(2?2?1)级明纹中心位置恰与?2的第k2级暗纹中心位置重合。求满足条件最小的k1和k2。 解：由asin??(2k1?1)?12，asin??2k2?22，有：
2k1?12k2?27??， ?14∴4k1?2?7k2，即：k1?3，k2?2。
19-4．在通常的环境中，人眼的瞳孔直径为3mm。设人眼最敏感的光波长为??550nm，人眼最小分辨角为多大？如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm，人在多远处恰能分辨。
550?10?9?4?2.2?10rad 解：最小分辨角为：??1.22?1.22??3D3?10如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm，人在s远处恰能分辨，则利用：
l???2.2?10?4rad，当l?2mm时，s?9.1m。
s? 89
19-5．波长为500nm和520nm的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为0.002cm的光栅上，紧靠光栅后用焦距为2m的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的距离。
解：两种波长的第三谱线的位置分别为x1、x2， 由光栅公式：dsin???k?，考虑到sin??tan??所以：?x?x1?x2?f1fxk?，x2?k?2，，有：x1?
ddf19-6．波长600nm的单色光垂直照射在光栅上，第二级明条纹出现在sin??0.20处，第四
级缺级。试求：
（1）光栅常数(a?b)；
（2）光栅上狭缝可能的最小宽度a；
（3）按上述选定的a、b值，在光屏上可能观察到的全部级数。 解：（1）由(a?b)sin??k?式，对应于sin??0.20处满足：
f2k???3?20?10?9?6?10?3m。 ?5d2?100.20(a?b)?2?600?10?9，得：(a?b)?6.0?10?6m；
（2）因第四级缺级，故此须同时满足：(a?b)sin??k?，asin??k??，
a?bk??1.5?10?6k?，取k??1，得光栅狭缝的最小宽度为1.5?10?6m； 4(a?b)sin??（3）由(a?b)sin??k?，k?，当??，对应k?kmax，
?2解得：a?∴kmax?a?b?6.0?10?6??10。 6000?10?10因?4，?8缺级，所以在?90????90?范围内实际呈现的全部级数为：
k?0，?1，?2，?3，?5，?6，?7，?9共15条明条纹(k??10在???90?处看不到)。 19-7．如能用一光栅在第一级光谱中分辨在波长间隔???0.18nm，发射中心波长为??656.3nm的红双线，则该光栅的总缝数至少为多少？
???kN?1，令k?1，有： 解：根据光栅的分辨本领：
?N???19-8．已知天空中两颗星相对于望远镜的角宽度为4.84×10-6rad，它们发出的光波波长
?=550nm。望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 解：由分辨本领表式：?R??1?1.22??1?653.3?1?3646?1?3647（条）。 0.18?d，
?550?10?9∴d?1.22。 ?1.22??0.139（m）?6?R4.84?1019-9．一缝间距d?0.1mm，缝宽a?0.02mm的双缝，用波长??600nm的平行单色光垂直入射，双缝后放一焦距为f?2.0m的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有
几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？
90
解：（1）双缝干涉实际上是单缝衍射基础上的双光束干涉，单缝衍射两暗纹之间的宽度内，考察干涉的主极大，可以套用光栅的缺级条件。
ka?ba?b0.10mm?有：k?k'?k'?5k'，当k'?1时，有k?5， k'aa0.02mm∴第五级为缺级，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有k?0，?1，?2，?3，?4共九条干涉主极
由
大条纹；
（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，则此时的a?b?0.05mm，
a?b0.05mmk'?k'?2.5k'，当k'?1时，有k?2.5， a0.02mm显然，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有k?0，?1，?2共五条干涉主极大条纹。
19-10．已知氯化钠晶体的晶面距离d?0.282nm，现用波长??0.154nm的X射线射向晶体表面，观察到第一级反射主极大，求X射线与晶体所成的掠射角。
1，2?，取第一级k?1，有： 解：由布拉格条件：2dsin??k?k?0，0.154nm?sin????0.2730，??0.276rad?15.84??15?50'。
2d2?0.282nm同理：k?19-11．一个平面透射光栅，当用光垂直入射时，能在30角的衍射方向上得到600nm的第二级主极大，并且第二级主极大能分辨???0.05nm的两条光谱线，但不能得到400nm的第三级主极大，求：（1）此光栅的透光部分的宽度a和不透光部分的宽度b；（2）此光栅的总缝数N。
?30角的衍射方向上得到600nm第二级主极大，解：（1）依题意，所以： (a?b)sin30??2?，
有：a?b?4?600nm?2.4?m
但不能得到400nm的第三级主极大，说明400nm的第三级条纹缺级，
?a?b?3， a所以：透光部分的宽度a?0.8?m，不透光部分的宽度b?1.6?m；
kN?1（????）（2）根据瑞利判据：k??，有： N?600nmN???6000（条）
k??2?0.05nm19-12．波长400nm到750nm的白光垂直照射到某光栅上，在离光栅0.50m处的光屏上测得第一级彩带离中央明条纹中心最近的距离为4.0cm，求：（1）第一级彩带的宽度；（2）
由缺级的定义可得：
第三级的哪些波长的光与第二级光谱的光相重合。 解：（1）衍射光栅中，由及sin??k?xf， 知：x?a?bf4?10?7?6波长越小，则离中央明纹就越近，所以：a?b?f??0.5?5?10m。 ?2x14?10?7.5?10?7?2?0.5?7.5?10m?7.5cm， 那么750nm的波长的第一级条纹位置在：x1'??65?10∴第一级彩带的宽度：?x?x1'?x1?7.5cm?4cm?3.5cm；
（2）重合部分的光满足衍射角相等，设第二级的?2与第三级的?3重合，由公式：
(a?b)sin??k?，知2?2?3?3，即：?3?2?23，
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当?2?750nm时，?3?500nm， 当?3?400nm时，?2?600nm，
∴第三级中有一部分和它将重合，对应的第三极波长为400?500nm的波。
19-13．用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光光谱（??590nm）。问：（1）光线垂直入射；（2）光线以入射角30入射时，最多能看到几级条纹？
?10?3?2?10?6m，而(a?b)sin??k?， 解：（1）正入射时，光栅常数为：a?b?500a?b2?10?6sin??sin??3.39sin?， 有：k??7?5.9?10∵sin??1，∴对应的级次k（取整数）只能取3， 最多能看到的条纹为7条：k?0，?1，?2，?3；
（2）斜入射时，利用(a?b)(sin??sin?)?k?，选择(a?b)(sin??sin?)?k?，
(a?b)11?(sin??)?3.39(sin??) 将??30代入，有：k??225当??90?时，k?3.39??5.085，
21当???90?时，k?3.39?(?)??1.7，
2对应的级次（取整数）为5??1级，
43，，21，，0?1。 ∴能看7条条纹：k?5，，习题20
20-1．从某湖水表面反射来的日光正好是完全偏振光，己知湖水的折射率为1.33。推算太阳在地平线上的仰角，并说明反射光中光矢量的振动方向。
解：由布儒斯特定律：n?tani，有入射角：i?arctan1.33?53，
∴仰角??90?i?37。
光是横波，光矢量的振动方向垂直于入射光线、折射光线和法线在所在的平面。 20-2．自然光投射到叠在一起的两块偏振片上，则两偏振片的偏振化方向夹角为多大才能使： （1）透射光强为入射光强的1/3；
（2）透射光强为最大透射光强的1/3。(均不计吸收)
解：设两偏振片的偏振化方向夹角为?，自然光光强为I0。
???112I0，通过第二块偏振片之后：I?I0cos?， 221112（1）由已知条件，透射光强为入射光强的，得：I0cos??I0，有：
3232??arccos?35.26?
31112（2）同样由题意当透射光强为最大透射光强的1/3时，得：I0cos??(I0)，有：
2323??arccos?54.73?。
3则自然光通过第一块偏振片之后，透射光强
20-3．设一部分偏振光由一自然光和一线偏振光混合构成。现通过偏振片观察到这部分偏振光在偏振片由对应最大透射光强位置转过60时，透射光强减为一半，试求部分偏振光中自然光和线偏振光两光强各占的比例。
? 92
11??I?I?II?I?I???max201?max201解:由题意知：????I0?I1，
11111?I?I?Icos260??I?I?Imax01max01???22?224∴即得I0:I1?1:1。
20-4．由钠灯射出的波长为589.0nm的平行光束以50角入射到方解石制成的晶片上，晶片光轴垂直于入射面且平行于晶片表面，已知折射率no?1.65，ne?1.486，求： （1）在晶片内o光与e光的波长； （2）o光与e光两光束间的夹角。
??c?cc解：（1）由n?，而c???，有：no?，ne??o?ev
?c589.0589.0∴?o???356.97nm，?e???396.37nm；
no1.65ne1.486sinisin50?sin50??（2）又∵n?，有：?o?arcsin ?27.66，?e?arcsin?31.03?，
sin?none∴o光与e光两光束间的夹角为：????e??o?3.37?。
20-5．在偏振化方向正交的两偏振片P1，P2之间，插入一晶片，其光轴平行于表面且与起偏器的偏振化方向成35，求：
（1）由晶片分成的o光和e光强度之比； （2）经检偏器P2后上述两光的强度之比。
解：（1）由晶片分成的o光振幅：AO?Asin?，e光的振幅：Ae?Acos?，
??cIoA2sin2?sin35?2其强度之比为振幅的平方比，所以：??()?0.49；
IeA2cos2?cos35?（2）经检偏器后，上述两光中o光的振幅：Ao'?Asin?cos?，
e光的振幅：Ae'?Acos?sin?，
可见振幅相同，所以两光强度之比为1：1。
20-6．把一个楔角为0.33的石英劈尖(光轴平行于棱)放在偏振化方向正交的两偏振片之间。用??654.3nm的红光垂直照射，并将透射光的干涉条纹显示在屏上。已知石英的折射率
?no?1.5419,ne?1.5509，计算相邻干涉条纹的间距。
解：选择劈尖的暗条纹，则条纹位置为：
2??(ne?no)d???（2k?1）?
?d sin?(ne?no)d?k?，?l?∴劈尖的相邻干涉条纹的间距：
?l??(ne?no)sin??654.3nm(1.5509?1.5419)?0.33???180??12.6mm。
习题21
21-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长?m，利用维恩定律便可求出T。已知太阳、北极星和天狼星的?m分别为0.50?10m，0.43?10?6?6m和