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W?????02EdV?2?02?R2R1Q2(R2?R1)Q211； ()4?rdr?(?)?24??0r8??0R1R28??0R1R2Q22（2）由UR1R2??R2Q4??0rR1dr?2Q4??0(Q(R2?R1)11， ?)?R1R24??0R1R2则球形电容器的电容为：C?QUR1R2?4??0R1R2R2?R1，
1Q2Q2(R2?R1)那么，We?。（与前面结果一样） ?2C8??0R1R213-12．一平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为?r的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度?0不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U不变而把介质取出。
11?02Sd2解：（1）维持两板上面电荷密度?0不变，有介质时：W1??0?rESd?，
22?0?r（D??0?rE，?0?D）
11?02Sd2取出介质后：W2??0ESd?，
22?02Sd1?01外力所做的功等于静电场能量的增加：?W?W2?W1?(1?)；
2?0?r11?0?rS22U， （2）维持两板上电压U不变，有介质时：W1?CU?22d11?0S22U， 取出介质后：W2?CU?22d1?0S2∴?W?W2?W1?U(1??r)。
2d习题14
14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。
??0I??0I?解：圆弧在O点的磁感应强度：B1?，方向：?； 4?R6R直导线在O点的磁感应强度：B2??0I4?Rcos600[sin60?sin(?60)]?003?0I2?R?；，方向：
∴总场强：B??0I2R(1?)，方向?。 ?3314-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。
（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；
（2）试证明：当a?R时，O点处的磁场最为均匀。
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解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：B?（1）左线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP1??0IR22(R?z)2232。
?0IR2右线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP2??BP1和BP2方向一致，均沿轴线水平向右，
∴P点磁感应强度：BP?BP1?BP2?（2）因为BP随x变化，变化率为
3a2222[R?(?x)]2?0IR2?，
3a2[R2?(?x)2]22，
?0IR2?23??a2?3a22?[R?(x?)]2?[R?(x?)]2?；
22??2dB，若此变化率在x?0处的变化最缓慢，则O点处的dx磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随x变化情况，即对BP的各阶导数进行讨论。 对B求一阶导数：
53?0IR2???dBa2a2?5aa22???(x?)[R?(x?)]2?(x?)[R?(x?)]2? dx22222??dB当x?0时，?0，可见在O点，磁感应强度B有极值。
dx对B求二阶导数： ddBd2B()?2? dxdxdx?a2a2?5(x?)5(x?)?3?0IR?11??22???? ?5757?2?[R2?(x?a)2]2[R2?(x?a)2]2[R2?(x?a)2]2[R2?(x?a)2]2????2222?a2?R2d2B2当x?0时，， ?3?0IR72x?0dxa[R2?()2]22d2BB有极小值， 可见，当a?R时，x?0?0，O点的磁感应强度
dx22d2B当a?R时，
dx2d2B当a?R时，
dx2x?0?0，O点的磁感应强度B有极大值，
?0，说明磁感应强度B在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀
x?0强磁场。
【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】 14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。
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解：∵a段对O点的磁感应强度可用
??S??B?dl??0?I求得，
??0I?0I?j 有：Ba?，∴Ba??4?R4?Rb段的延长线过O点，Bb?0，
??0I??0I?0Ic段产生的磁感应强度为：Bc?，∴Bc????k
4?R4R4R?0I??0I?j+k，方向如图。 则：O点的总场强：BO??4?R4R14-4．如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈
均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球心O的磁感强度。 解：从O点引出一根半径线，与水平方向呈?角，则有水平投影： x?Rcos?，圆环半径：r?Rsin?，取微元dl?Rd?， 有环形电流：dI?利用：B?2NI?232d?，
，有：
?0IR22(R?x)2?0NIsin2?d??0NIR2sin2?d?dB?， ???R2(r2?x2)32?(R2sin2??R2cos2?)32?0NI??0NI??0NI1?cos2?222sin?d??d??∴B?。
?R?0?R?024R?0r2dI14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线
??平行，间距为a，若导体内的电流密度均匀为j，j的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁
?感应强度B。
解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了?j的电流，那么， 以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用
???2B?dl??I，有：， 2?R?B??j?R?010??S???0j?∴B1??R，
2同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：
2?r?B2??0(?j)?r2，有：B2?????由图示可知：R?(?r)?a
??0j2??r，
O?O'??P?a???那么，B?B1?B2???0j2??R???0j?RP14-6．在半径R?1cm的无限长半圆柱形金属片中，有电流I?5A自下而上通过，如图所
示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度的大小。
解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl?Rd?的长直电流，
???1?r??0j?a。
22OO?'r 71
??dld??有：dI?，利用??SB?dl??0?I。 ?R?在P点处的磁感应强度为：dB??0dI?0Id?， ?22?R2?R∴dBx?dBsin???0Isin?d?，而因为对称性，By?0 22?R?0I??0Isin?d???6.37?10?5T。 那么，B?Bx??dBx?22?2?R0?R14-7．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体
圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（0?r??）。 解：利用安培环路定理
??S??B?dl??0?I分段讨论。
?r2I（1）当0?r?R1时，有：B1?2?r??0 2?R1∴B1??0Ir； 22?R1?0I； 2?r2?r2??R2I)， （3）当R2?r?R3时，有：B3?2?r??0(I?22?R3??R2（2）当R1?r?R2时，有：B2?2?r??0I，∴B2??IR3?r∴B3?0?2； 22?rR3?R2（4）当r?R3时，有：B4?2?r??0(I?I)，∴B4?0。
22??0Ir(0?r?R1)?2?R21???0I(R1?r?R2)??2?r则：B??
??IR2?r2?0?23(R2?r?R3)2?2?rR3?R2?(r?R3)??014-8．一橡皮传输带以速度v匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密
度为?。
?B（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度的大
小；
?（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v及它所产生的
?1????1磁场B和电场E之间满足下述关系：B?2v?E（式中c?）。
c?0?0解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda，考虑到橡皮带上等效电流密度为：i??v，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据
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安培环路定理有：
??abcd??B?dl??0Li?B?2L??0L?v，
??0?v∴磁感应强度B的大小：B?；
2（2）非相对论情形下：
aLbcd?????0qv?r匀速运动的点电荷产生的磁场为：B??2，
4?r?1q??， 点电荷产生的电场为：E??2r4??0r?????1??1q?qv?r?0?∴2v?E??0?0v??r??2?B，
c4??0r24?r?1??1即为结论：B?2v?E（式中c?）。
c?0?014-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为?，
半径为R。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为?，
求：（1）圆柱体内距轴线r处的磁感应强度的大小； （2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）考察圆柱体内距轴线r处到半径R的圆环等效电流。
Rdq??2?rLdr1????Lrdr，∴I????Lrdr???L(R2?r2)，
rtT2选环路abcd如图所示，
L??ba由安培环路定理：??B?dl??0?I，
∵dI?S122有：B?L??0???L(R?r)
2∴B?rLdc?0??2(R2?r2)
（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：B端面中心??0??R24。
14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S，两圆柱轴线间的距离O1O2?d，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。
解：因为一个阴影的横截面积为S，那么面电流密度为：
i?IS，利用补偿法，将真空部分看成通有电流?i，设
其中一个阴影在真空部分某点P处产生的磁场为B1，距离 为r1，另一个为B2、r2，有：r1?r2?d。 利用安培环路定理可得：
?????II?0?r12?Ir?0?r22?Ir0102SSB1???，B2?，
2?r12S2?r22S??d???r1??r1O1???0Ir1???0Ir2???， 则：B1?r1?，B2?r2?2S2SP??r2??r2??dO2