院 系 班级 姓 名 作业编号
第十章 微分方程
作业20 微分方程基本概念
1．写出下列条件所确定的微分方程：
（1）曲线在点M(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段MQ被y轴平分； 解：法线方程为Y?y??1?X?x?，法线与x轴的交点Y?0,?X?x?y?y y?由已知0?x?Xx?x?y?y??y?y?2x?0 22（2）曲线上任意点M(x,y)处的切线与线段OM垂直； 解：切线的斜率为y?，线段OM的斜率为k?由已知y??y xy??1,?yy???x x（3）曲线上任意点M(x,y)处的切线，以及M点与原点的连线，和x轴所围成的三角形的面积为常数a．
解：切线方程为Y?y?y??X?x?，M点与原点的连线为Y?切线与x轴即直线Y?0的交点，Y?0,?X?x?2yX xy y?1?y?y22由已知y??x???a,?xy???2a2,?xy?2a2?y??y2
2?y??y?2.．求曲线簇xy?C1ex?C2e?x (C1,C2为任意常数)所满足的微分方程． 解：由已知，两边对自变量x求导y?xy??C1ex?C2e?x 两边再对自变量x求导2y??xy???C1e?C2ex?x?2y??xy???xy
3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为m，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件． 解：由已知，mdv?mg?kv,v?0??0 dt 1
《高等数学》同步作业册
作业21 可分离变量的微分方程
1．解微分方程y?xy??a(y2?y?)． 解：微分方程即y?ay?(x?a)2dy dx分离变量
dydx ?2y?ayx?a两边积分
?1dxady1?????d?ay? ?x?a?ay?1?ay???ayay?1??ayacyacy?lnc?ln?x?a? ay?1ay?1ay?1从而ln?x?a??ln2. 求解初值问题：(1?e?x)y?tany?1?0, yx?0?π． 解：微分方程即(1?e)tany?xdy??1 dx分离变量
sinydydx?? ?xcosy1?ed?1?ex?dcosydxexdx两边积分?? ?????????cosy1?e?x1?ex1?exxx从而?lncosy??ln1?e?lnc?cosy?c1?e
????由yx?0?π，cos??c1?e?01,cosy???1?e? ??2c?c??122x3．当?x?0时，?是比?x高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点处的增量
y?x+?，且y(0)?π，求y(1)． 1?x2?yydy?yy??lim?解：由已知，从而 ?x1?x2dx?x?0?x1?x2?y?分离变量
dydx? y1?x2dydxarctanx??lny?arctanx?lnc?y?ce ?y?1?x2arctan0两边积分
由yx?0?π，??ce?c?c??,y??earctanx
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院 系 班级 姓 名 作业编号 4．解微分方程xy??ylny． 解：微分方程即xdy?ylny dx分离变量
dydx ?ylnyx两边积分
?dydlnydx?????lnlny?lnx?lnc?lny?cx,y?ecx ylnylnyx5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这
曲线方程． 解：由已知y?2??3,Y?y?y??X?x? 当X?0,Y?y?xy?,Y?0dy?y?y?xy??2y,x??y 2dx分离变量
dydx?? yxdydxc???lny??lnx?lnc?y? ?y?xxc6,?c?6,y? 2x两边积分
由yx?2?3，3?6．设有连接O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA,对于OA上任一点P(x,y)，曲线弧OP与直线段OP所围成的面积为x，求曲线弧OA的方程． 解：设曲线为y?f?x? 由已知y?t?dt?x2?01y?xy?xy?x2,y?0??0,y?1??1?y??2x 22xy??y?y??2???微分方程即xy??y??2x, ??2xx?x?从而
y2???dx,y??x?2lnx?c??x?c?2lnx? xx由yx?1?1，1?c?2ln1,?c?1,y?x?1?2lnx?，
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《高等数学》同步作业册
作业22 齐次方程
1．解微分方程xy??yln解：令u?y． xy,则y?ux,y??u?xu? xyyy微分方程xy??yln，即y??ln?ulnu?u?xu?
xxxu?lnu?1??xdududx，分离变量? dxu?lnu?1?x两边积分
d?lnu?1?dudx???u?lnu?1??lnu?1?x
y?1?cx,y?xe1?cx xln?lnu?1??lnx?lnc,ln2．求解初值问题(y?解：令u?x2?y2)dx?xdy?0(x?0),y(1)?0．
y,则y?ux,y??u?xu? x2ydyy?x2?y2?y?2微分方程，即y???1????u?1?u?u?xu? ?xdxx?x?1?u2?xdududxdudx，分离变量，两边积分???? dxxx1?u21?u2lnu?1?u2?lnx?lnc,y?x2?y2?cx2
由y(1)?0，0?1?0?c,?c?1,y???x2?y2?x2
3．作适当的变量代换，求下列方程的通解：
dy?(x?y)2； dxdududu?1?y??1?u2,??dx,??dx 解：令u?x?y,?22?dx1?u1?u （1）
arctanu?x?c,y?tan?x?c??x
（2） y??y?x?1；
y?x?5dYY?X?b?a?1? dXY?X?b?a?5解：令x?X?a,y?Y?b，则y??再令b?a?1?0,b?a?5?0?b??3,a??2，x?X?2,y?Y?3
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u?1u?1?1?u2,Xu???u?再令Y?uX,?Xu??u? u?1u?1u?1从而
??u?1?du?1?u21?dX?u?du??, 22????X?1?u1?u?11ln?1?u2??arctanu??lnX?lnc,e?2arctanu?cX2?1?u2? 22e?2arctany?3x?222?c??x?2???y?3??
??（3）(x?2y)2y??1．
2u2?2u2du?dx， 解：令u?x?2y，则u??1?2y??1?2?，分离变量22uuu?2u2?2?2u两边积分?du?dx?u?2arctan?x?c 2?u?22x?2y?2arctanx?2yx?2y?x?c,2y?c?2arctan 224．求曲线y?y(x)，使它正交于圆心在x轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指在交点处两曲线的切线互相垂直）．
22解：可设在x轴上且过原点的任何圆为?x?a??y?a，
2x2?y2a?x则x?y?2ax,a? ,2?x?a??2yy??0,y??2xy22由已知曲线y?y(x)应满足y???yy2xy??2?? 222x?ya?xy?x?x2x2y2uu?u3?1?u?dudx,xu??,?， 令u?,则y?ux,y??u?xu??222x1?u1?uu?1?u?x1?u2?2u2dx2du?,lnu?ln1?u???lnx?lnc ?u?1?u2??x?y2?uy?cx,?cx?1?2?,y?c?x2?y2? 21?ux?x? 5