《高等数学》同步作业册
作业23 一阶线性微分方程
dyysinx??． dxxxdy?P?x?y?Q?x?, 解：对照标准的一阶线性微分方程dx1．解微分方程
?P?x?dx?P?x?dx1sinx? ??P?x??,Q?x??,y?e?Qxedx?C????xx???111??lnx?sinxlnx?lnx?sinx??xdx?sinx?xdxy?eedx?C??e??edx?C??e??xdx?C????x??x??x??1???C?cosx sinxdx?C?x??xdy?y?x2?3x?2． 2．解微分方程 xdx?解：微分方程即
d?xy??x2?3x?2, dx133213cx?x?2x?c,y?x2?x?2? 3232xdy2?2y?0． 3．解微分方程 (y?6x)dxxy???x2?3x?2?dx?解：观察发现，微分方程等价为y?6x?2y2dxdx3y?0,?x??, dydyy2?P?y????P?y?dy?P?y?dy?3?y? ?,Q?y??,x?e?Qyedy?C????y2????3?3?3lny??y?3lny?ydy??y?ydy?x?eedy?C??e??edy?C? ???2??2??????y213?1?y???2dy?C??y??C???Cy3
?2y??2y?23dy?ytanx?secx，yx?0?0． dxdy?P?x?y?Q?x?, 解：对照标准的一阶线性微分方程dx4．求解初值问题
??tanxdx???tanxdxdx?C? ?P?x???tanx,Q?x??secx,y?e?secx?e?????lncosxy?e?lncosx?secx?edx?C?????x?c，由ycosxy?x?0?0，
x cosx6
院 系 班级 姓 名 作业编号 5．设曲线积分 yf(x)dx?[2xf(x)?x2]dy 在右半平面（x?0)内与路径无关，
?L其中f(x)可导，且f(1)?1，求f(x)．
解：由曲线积分在右半平面（x?0)内与路径无关可知，
f(x)??f(2x?x)f?2??1x?2x?,f(?x)?? f2xx11111??dx?dx?lnx?lnx??1??P?x??,Q?x??1,y?e2x??1?e2xdx?C??e2??e2dx?C?
2x?????21?23c2y?x?c?x??f?x? ??33x?x?由f(1)?1，1?2121?c,?c?,f?x??x? 3333x6．解微分方程
dy?3xy?xy2． dx解：微分方程化为
1dyxd?1?xd?1?x?3?x,??3?x,?3??x, ????y2dxydx?y?ydx?y?y令u?1du,??3xu??x,为一阶线性微分方程 ydx?3xdxP?x??3x,Q?x???x,u?e?3?x21u??e2y??x?e?3xdxdx?C??e?2x???????3232x??2?xedx?C??? ??3x2?3?x2?13??222???ed?x?x?C??e?2??3?3x2?x2?13?122 ?e?C?Ce???3?3? 7
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作业24 全微分方程
1． 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： （1）(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y2)dy?0；
?(3x2?6xy2)?(6x2y?4y2)解：因为且连续，从而该方程是全微分方程 =12xy=?y?x40?3x2dx?6xy2dx?6x2ydy?4y2dy?dx3?3y2dx2?3x2dy2?dy3
344???d?x3??3x2y2?y3?，从而x3??3x2y2?y3?c
33??（2）(xcosy?cosx)y??ysinx?siny?0；
解：方程即(xcosy?cosx)dy???ysinx?siny?dx?0
因为
???ysinx?siny??(xcosy?cosx)且连续，从而该方程=?sinx?cosy=?y?x是全微分方程，方程右边为某个函数u?x,y?的全微分， 即?u,ux??ysinx?siny,uy?xcosy?cosx
u?ycosx?xsiny?g?y?,uy?xcosy?cosx?cosx?xcosy?g??y? ?g??y??0,g?y??c1
从而微分方程的通解为ycosx?xsiny?c （3） edx?(xe?2y)dy?0．
yy?eyy?(xey?2y)解：因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是=e=?y?x全微分方程，方程右边为某个势函数u?x,y?的全微分，可用曲线积分法求一个来。
?x,y?xyu=?0,0??eydx?(xey?2y)dy??e0dx??(xey?2y)dy?xey?y2
00从而微分方程的通解为xe?y?c
y28
院 系 班级 姓 名 作业编号
作业25 可降阶的高阶微分方程
1．求下列微分方程的通解 （1）y???x?sinx； 解：y????x?sinx?dx?12x2?cosx?c1, y????11?2x2?cosx?c?1??dx?6x3?sinx?c1x?c2
（2）y??(ex?1)?y??0； 解：令p?y?,?y???dpdx,(ex?1)dpdx?p?0 分离变量
dpp??dxex?1， 两边积分?dpex?1?ex?1dyp???exex?1dx??x?ln?ex?1??lnc1，p?c1ex?dx分离变量dy?cex?1ex1exdx，两边积分y?c?11?exdx?c1??1?e?x?dx y?c2?c1?x?e?x?
（3）y???21?yy?2?0； 解：令p?y?,?y???dpdx?dpdy?dydx?pdpdy,pdpdy?21?yp2?0 分离变量
dpp?2y?1dy， 两边积分
?dpp??2y?1dy,lnp?2ln?y?1??lnc1，p?c1?y?1?2?dydx 分离变量
dy1?y?1?2?c1dx，两边积分cdy1x?c2???y?1?2??y?1 y?1?1cx?c
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(4)y???(y?)3?y?. 解：令p?y?,?y???dpdpdydpdp???p,p?p3?p dxdydxdydy分离变量
dp?dy， 2p?1两边积分y??1dy， dp?arctanp?c,p?tany?c???11p2?1dx分离变量cot?y?c1?dy?dx，
x?c两边积分x?c2?cot?y?c1?dy?lnsin?y?c1?，sin?y?c1???e2
?3??yy???1?02．求解初值问题?．
?y?1,y?0x?1??x?1解：令p?y?,?y???dpdpdydpdp???p,y3p?1?0 dxdydxdydy?1p2?111分离变量pdp?3dy，两边积分??3dy?2?c1,p2?y?2?c1，
y2y2y2由y?x?1?1,y2?2?1,p?x?1?0，0?1?c1,?p?ydy??y?2?1 dx分离变量
ydy1?y2??dx，两边积分???2ydy21?y2??x?c??1?y2，
1?y2??x?c，由yx?1?1,c??1，从而1?y2??x?1
3．设第一象限内的曲线y?y(x)对应于0?x?a一段的长在数值上等于曲边梯形：
0?y?y(x)，0?x?a的面积，其中a?0是任意给定的，y(0)?1，求y(x)．
a解：由已知
?02??1??yxdx?yxdx?1?y?y,y???y?1 ????????02a??c?x?dy???dx?c?x,2y?1?c?x,y?1?
4y?1c2x2由y(0)?1，1?1?,c?0,y?1?44210