院 系 班级 姓 名 作业编号
作业26 线性微分方程解的结构
1． 已知y1(x)?ex是齐次线性方程
(2x?1)y???(2x?1)y??2y?0的一个解，求此方程的通解．
解：方程即y???2x?122x?12y??y?0,p?x???,q?x?? 2x?12x?12x?12x?1由刘维尔公式y2?y1??x?1dx1??p?x?dx1???2x2x?1edx?eedx 22x?y1ey2?e
x?e?2xe1??dx???2x?1?2?dx?ex?e?2xex?ln?2x?1?dx?ex??2x?1?e?xdx
?x?x???ex??2x?1?de?x??ex?2x?1e?2e??????2x?1
由解的结构定理可知，方程的通解y?c1e?c2?2x?1?
x2． 若y1,y2，y3是二阶非齐次线性微分方程（1）的线性无关的解，试用y1,y2，
y3表达方程（1）的通解．
解：由解的结构定理可知，y2?y1,y3?y1均为对应的二阶齐次线性微分方程的解，而且现行无关。
从而：由解的结构定理方程（1）的通解为y?c1?y2?y1??c2?y3?y1??y1 3．已知y1?x2，y2?x+x2，y3?ex+x2都是二阶线性非齐次方程
（x-1)y'?'x?y' ?y2?x?2的解，求此方程的通解．x?2解：易知y2?y1?，xyex线性无关，从而为二阶线性齐次方程3?y1?（x-1)y''?xy'?y?0的线性无关的特解，由解的结构定理，二阶线性非齐次方程
（x-1)y''?xy'?y??x2?2x?2的通解为y?x2+c1x?c2ex
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《高等数学》同步作业册
作业27 二阶常系数齐次线性微分方程
1．求下列微分方程的通解
（1）4y???12y??9y?0； 解：特征方程为
4r?12r?9?0,r1,2?2???12??3x2??12?2?42?4?4?9?3?9?93? 22从而通解为y??c1?c2x?e
d2sds?0； （2）2?dtdt解：特征方程为r?r?r?r?1??0,r1?0,r2??1
2从而通解为y?c1?c2e?x
（3）y???6y??13y?0；
?6?62?4?1?13解：特征方程为r?6r?13?0,r1,2???3?2i,???3,??2
22从而通解为y??c1cos2x?c2sin2x?e（4）y(5)?3x
?2y????y??0．
53解：特征方程为r?2r?1?rr?1?2?2?0,r1,2?i,r3,4??i,r5?0
从而通解为y??c1?c2x?cos2x??c3?c4x?sin2x?c5 2．求方程4y???4y??y?0满足所给初始条件y22x?0?2，y?x?0?0的特解．
解：特征方程为4r?4r?1??2r?1??0,r1,2??从而通解为y??c1?c2x?e由y?1?x2，由
1 2yx?0?2得2??c1?c2?0?e0?c1?2
1?1??1?????得0?c2?c1????,c2?c1?1
2?2??2??x?0?0，y?c2e1?x21?x2??c1?c2x?e1?x2因此y??2?x?e
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院 系 班级 姓 名 作业编号 3． 设可微函数?(x)满足方程?(x)?e??x0(x?u)?(u)du，求?(x)．
解：由已知?(0)?e，?(x)?e?x?xx0?(u)du??0u?(u)du
???(x)???x0?(u)du,??(0)?0，????(x)???(x),???(x)??(x)?0
特征方程为r2?1?0,r1,2??i
从而通解为??x??c1cosx?c2sinx,，由?(0)?e得e?c1?c2?0?c1?e 由???0??0，???x???c1sinx?c2cosx,得0?0?c2,c2?0 因此??x??ecosx
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《高等数学》同步作业册
作业 28 二阶线性非齐次微分方程
1．求下列各方程的通解
（1）y???5y??4y?3?2x；
解：对应齐次方程特征方程为r2?5r?4??r?4??r?1??0,r1??4,r2??1
?x非齐次项f?x??3?2x，与标准式f?x??P比较得n?1,??0 xe??n对比特征根，推得k?0，从而y?xQn?x?e*k?x?ax?b,y*??a,y*???0
代入方程得0?5a?4?ax?b??3?2x?5a?4b?3,4a??2,a??从而通解为y?c1e?4x111,b? 28111?c2e?x?x?
28（2）2y???y??y?2ex； 解：对应齐次方程特征方程为
2r2?r?1?0,r1,2?x?1?12?4?1???1?2?2??1?31,r1?,r2??1 42?x非齐次项f?x??2e，与标准式f?x??Pn?x?e比较得n?0,??1 对比特征根，推得k?0，从而y?xQn?x?e*k?x?aex,y*??aex,y*???aex
代入方程得2a?a?a?2?a?1 从而通解为y?c1e?c2e?x?ex
（3）y???3y??2y?3xe；
解：对应齐次方程特征方程为r?3r?2??r?2??r?1??0,r1??2,r2??1
2?xx2非齐次项f?x??3xe，与标准式f?x??Pn?x?e比较得n?1,???1
?x?x*k?x2?x对比特征根，推得k?1，从而y?xQn?x?e?(ax?bx)e,
y*??(?ax2?2ax?bx?b)e?x,y*???(ax2?4ax?bx?2a?2b)e?x
代入方程得(ax?4ax?bx?2a?2b)?3(?ax?2ax?bx?b)?2(ax?bx)?3x
2223?3??2a?b?0,2a?3,?a?,b??2a??3,y??x2?3x?c1?e?x?c2e?2x
2?2?14
院 系 班级 姓 名 作业编号 （4）y???4y?xcosx；
解：对应齐次方程特征方程为r2?4?0,r1,2??2i
?x非齐次项f?x??xcosx,，与标准式f?x??e??Pm?x?cos?x?Pl?x?sin?x??
比较得n?max?m,l??1,??i,对比特征根，推得k?0，从而特解形式可设为
?xy*?xk?Qxcos?x?Qxsin?xe?(ax?b)cosx??cx?d?sinx, ?????1n2n??y*??(?ax?b?c)sinx??cx?d?a?cosx,y*???(?ax?b?2c)cosx??cx?d?2a?sinx12代入方程得3ax?3b?2c?x,3cx?3d?2a?0?a?,c?0,b?0,d?
3912y?c1cos2x??c2sin2x?cosx?sinx
39（5）y???y?sin2x．
解：对应齐次方程特征方程为r?1?0,r1,2??1 非齐次项f?x??211?cos2x,利用解的结构定理知特解形式可设为 22y*?a?bcos2x?csin2x,y*???2bsin2x?2ccos2x,y*????4bcos2x?4csin2x
代入方程得?a?5bcos2x?5csin2x?1111?cos2x?a??,b?,c?0 2221011y?c1ex?c2e?x??cos2x
2102．求方程y???4y??4y?e?2x满足初始条件y(0)?0，y?(0)?1的特解．
22解：对应齐次方程特征方程为r?4r?4??r?2??0,r1?r2??2
非齐次项f?x??e?2x，与标准式f?x??Pn?x?e比较得n?0,???2
?x对比特征根，推得k?2，从而
y*?xkQn?x?e?x?ax2e?2x,y*???2ax?2ax2?e?2x,y*????2a?8ax?4ax2?e?2x
代入方程得2a?8ax?4ax从而通解为y?(c1?c2x??2??4?2ax?2ax??4ax22?1,2a?1,a?1 212?2xx)e，y(0)?0?c1?0 2 15