《高等数学》同步作业册
1??y??(?2c2x?x2?c2?x)e?2x，y?(0)?1,?c2?1要的特解为y??x?x2?e?2x
2??3．已知二阶线性非齐次微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三个特解为y1?x，
y2?ex，y3?e2x．试求方程满足初始条件y(0)?1，y?(0)?3的特解．
解：由这个三个解的线性无关性，以及解的结构理论，得通解为
y?c1?ex?x??c2?e2x?x??x，由y(0)?1得c1?c2?1
y??c1?ex?1??c2?2e2x?1??1及y?(0)?3得c2?2?1??1?3?c2?2,c1??1
所要特解为y?x?ex?2e2x?2x?x?2e2x?ex
x4．设f(x)?sinx?(x?t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
0?x解：f(x)?sinx?xf(t)dt?tf(t)dt?f?0??0
x?0?0f?(x)?cosx??f(t)dt?f??0??cos0?1，f??(x)?f(x)??sinx
0x对应齐次方程特征方程为r?1?0,r1,2??i
?x非齐次项f?x???sinx,，与标准式f?x??e??Pm?x?cos?x?Pl?x?sin?x??
2比较得n?max?m,l??0,??i,对比特征根，推得k?1，从而特解形式可设为
?xy*?xk?Qxcos?x?Qxsin?xe?axcosx?bxsinx, ?????1n2n??y*??(a?bx)cosx?(b?ax)sinx,y*???(2b?ax)cosx?(?2a?bx)sinx
代入方程得2bcosx?2asinx??sinx?b?0,a?1 2xf?x??c1sinx?c2cosx?cosx，由f?0??0?c2?0
2x11f??x??c1cosx?c2sinx?sinx?cosx，由f??0??1?c1?
2221x因此f?x??sinx?cosx
22
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第十章《微分方程》测试题
1．填空题
（1）函数y?erx是常系数线性微分方程y???py??qy?0的解的充分必要条件是 r2?pr?q?0；
2（2）曲线簇y?cos(x?C)（C为任意常数）满足的一阶微分方程是y??y???1；
2（3）已知二阶线性齐次方程的两个解y1?ex，y2?xex，则该方程为
y???2y??y?0；
（4）方程y??yyy?tan的通解y为sin?cx； xxx（5）设y1?3，y2?3?x2，y3?3?x2?ex都是方程
(x2?2x)y???(x2?2)y??(2x?2)y?6x?6
的解，则方程的通解为y?3?c1x2?c2ex． 2．求下列各方程的通解
（1）(1?e)dx?e(1?)dy?0；
xyxyxy解：令u?x，则x?yu,dx?ydu?udy yuu(1?eu)dudy原方程化为(1?e)ydu?(u?e)dy?0，分离变量??0， uu?ey(1?eu)dudy两边积分得???ln(u?eu)?lny?lnc u?(u?e)y从而y(u?e)?c,x?ye?c （2）
uxydyy?； 3dxx?ydxx??y2，， dyy17
解：原方程化为
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?1?1?lny?ydy?2?ydy从而x?eyedy?c?e?????????y3?ydy?c?2?cy
?（3）(1?x2)y???2xy??0； 解：令y??p，则y???p?原方程化为(1?x2)p??2xp?0， 分离变量
dp2xdx??0， 2p1?xdp2xdx2??p?1?x2?lnp?ln?1?x??lnc
两边积分得
从而p?dyc?,y?carctanx?c1 dx1?x21x（4）y???y??xe；
x1p?xex， xxx?edx?2c1?xe?2c1x?解：令y??p，则y???p?原方程化为p???1?1dx?dx?lnx?x?xx从而p?edx?c??e??xee?????dy dxy??xexdx?c1x?(x?1)ex?c1x2?c2
（5）y???9y?xsin3x； 解：对应齐次方程特征方程为r?9?0,r1,2??3i
?x非齐次项f?x??xsin3x,，与标准式f?x??e??Pm?x?cos?x?Pl?x?sin?x??
2比较得n?max?m,l??1,??3i,对比特征根，推得k?1，从而特解形式可设为
?x22y*?xk??1Qn?x?cos?x?2Qn?x?sin?x??e?(ax?bx)cos3x??cx?dx?sin3x,y*??(3cx2?3dx?2ax?b)cos3x??2cx?d?3ax2?3bx?sin3xy*???(2c?6b?12ax?9dx?9cx2)sin3x??6d?2a?12cx?9bx?9ax2?cos3x
代入方程得(2c?6b?12ax)sin3x??6d?2a?12cx?cos3x?xsin3x
2c?6b?12ax?x,6d?2a?12cx?0?a??y?c1cos3x??c2sin3x?11,c?b?0,d? 1236121xcos3x?xsin3x 123618
院 系 班级 姓 名 作业编号 （6）xy???y??x2；
xy???y??y??y???1?x?2c1,y??x2?2c1x 解：方程可化为，从而??2xx?x?因此y???x2?2c1x?dx?13x?c1x?c2 3（7）y???4y??4y?3e?2x；
2解：对应齐次方程特征方程为r?4r?4??r?2??0,r1?r2??2
2?x非齐次项f?x??3e?2x，与标准式f?x??Pn?x?e比较得n?0,???2
对比特征根，推得k?2，从而
y*?xkQn?x?e?x?ax2e?2x,y*???2ax?2ax2?e?2x,y*????2a?8ax?4ax2?e?2x
代入方程得2a?8ax?4ax从而通解为y?(c1?c2x??2??4?2ax?2ax2??4ax2?3,2a?3,a?3 232?2xx)e 2(8) (2x?5y?3)dx?(2x?4y?6)dy?0． 解：令x?X?a,y?Y?b，则y??dY2X?5Y?2a?5b?3? dX2X?4Y?2a?4b?6再令2a?5b?3?0,2a?4b?6?0?b?1,a?1，x?X?1,y?Y?1
2?5u2?5u2?7u?4u2,Xu???u?再令Y?uX,?Xu??u? 2?4u2?4u2?4u4???22?4udX3从而?du????3?du??,
(2?u)(1?4u)X?2?u1?4u???211?ln?2?u??ln?1?4u??lnX?lnc 3332ln?2?u??ln?1?4x??3lnX?lnc,?2?u??1?4u?X3?c
2?2X?Y??X?4Y??c即?2x?y?3??x?4y?3??c
3. 设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0,f?(0)?1，并且
22[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0
为一全微分方程，求f(x)．
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解：由已知x(x?2y)?f(x)?f??(x)?2xy,?f??(x)?f(x)?x2 对应齐次方程特征方程为r2?1?0,r1,2??i
?x非齐次项f?x??x2，与标准式f?x??Pn?x?e
比较得n?2,??0,对比特征根，推得k?0，从而特解形式可设为
y*?ax2?bx?c,y*??2ax?b,y*???2a 2a?ax2?bx?c?x2?a?1,b?0,c??2
从通解为f(x)?c1cosx?c2sinx?x2?2,f?(x)?c2cosx?c1sinx?2x， 由f(0)?0,f?(0)?1,c1?2?0,c2?1,c1?2 因此f(x)?2cosx?sinx?x2?2
?2z?2zx4．已知方程2?2?ze2x有形如z?f(esiny)的解，试求出这个解．
?x?y2?z?2zx?f??u?esiny,2?f???u??exsiny??f??u?exsiny 解：因为?x?x2?z?2zx?f??u?ecosy,2?f???u??excosy??f??u?ex(?siny) ?y?y?2z?2z?2?f???u?e2x?f(u)e2x,?f???u??f(u)?0 2?x?y特征方程为r?1?0,r,r2??1,f?u??c1e?c2e 1?12u?u因而，这个解为z?f(exsiny)?c1eexsiny?c2e?exsiny
5．设函数f(x)在(??,??)内具有连续导数，且满足
f(t)?22x?y2?t2??(x2?y2)f(x2?y2)dxdy?t4，
求f(x)．
解：由极坐标f(t)?2d?rf?r?rdr?t?4?r3f?r?dr?t4
2?tt??0024?020
院 系 班级 姓 名 作业编号 从而f?(t)?4?t3f?t??4t3,f?0??0，即f?(t)?4?t3f?t??4t3,
??4?t3??3???4?t3???e?t4??1e??t4?c???1?ce?t4 ?f?t??e4tedt?c????????????由f?0??0，得c?1?,f?t??1?e?t?41?,f?x??1?e?x?41?
6．设函数?(x)在实轴上连续，??(0)存在，且具有性质?(x?y)??(x)?(y)，试求出?(x)．
解：由已知?(x?0)??(x)?(0),???0??1
??(x)?limy?0?(x?y)??(x)y?limy?0?(x)?(y)??(x)y??(x)limy?0?(y)??(0)y
从而??(x)??(x)??(0)，?d?(x)????(0)dx???(0)x?lnc ?(x)因此?(x)?ce??(0)x，由于??0??1，故c?1,?(x)?e??(0)x
7．设函数y(x)（x?0）二阶可导，且y?(x)?0，y(0)?1，过曲线y?y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形面积记为S1，区间(0,x]上以y?y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设
2S1?S2恒为1．求此曲线y?y(x)的方程．
解:过曲线y?y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线为Y?y?y??X?x?
xy1??y??y2当Y?0,X?x?，从而S1?y?x??x????,S2??y?x?dx
??y?2??y??2y0y22由已知y?0??1,2S1?S2?1,??y?x?dx?1,?y??0??1,，y?y???y2y???0
y?0令y??p,?y???pxdpdpdpdy,yp2?y2p,???,lnp?lny?lnc dydypy从而y??p?cy,dycx?cdx,lny?cx?lnc,y?ce， 11?y?由于y?0??1,y??0??1，因此c?1,c1?1,y?ex
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