概率论与数理统计标准作业纸答案
?2x,f(x)???0,求Y?X的概率密度。 解：
20?x?1其它
0?y?1,FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?fY(y)?2y?(y)??1因此fY(y)??y)??2xdx0y
?1,?0,0?y?1其它
第九节 二维随机变量的联合分布
一、选择
?e?(x?y),x?0,y?0;1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)??
其他.?0,则P(X?Y)? （ A ）
（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.6
二、填空
1. 下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处 Y X y1 1 24y2 1 83 8y3 1 12P{X?xi}?pi? 1 4x1 x2 P{Y?yi}?p?j1 8 1 43 41 1 61 21 32.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctanx2y) 3第 16 页
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则系数A=
1?2，B=
?2，C=
?2， (X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)?6
?2(x2?4)(y2?9)三、计算
1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0; f(x,y)??其他.?0,试求（1）常数A ； (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解：（1）由于 故
??????0??????f(x,y)?1，
A?1，所以A?2 221??0??Ae?(x?2y)dxdy?（2）P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4)
第十节 二维随机变量的边缘分布
一、计算题
?e?y,0?x?y1.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??，求X的边缘
?0,其他概率密度fX(x)。 解 x?0时,fX(x)????xe?ydy?e?x,x?0时，fX(x)?0故
?e?x，x?0fX(x)??
x?0?0, 第十一节 随机变量的独立性
一、计算
1.已知随机变量X1和X2的概率分布
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??10X1~?11??42?01??1, X2~?1??4??21?1? ?2?而且P{X1X2?0}?1.问X1和X2是否独立？为什么？ 解： 因为P{X1X2?0}?1.所以P{X1X2?0}?0 即
P{X1?1,X2?1}?0，P{X1??1,X2?1}?0
所以X1和X2的联合概率分布为 X2 0 X1 -1 1 PX1(x) 1 41 40 0 0 1 20 1 21 41 1 1 4PX2(x) 1 21 2因为P?X1??1,X2?0??P?X1??1?P?X2?0? 所以X1和X2不独立。
?2e?(x?2y),x?0,y?02.已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,随机变量X和Y是否独立？
?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 由于 fX(x)??， fY(y)??。
x?0?0,?0,y?0故f(x,y)?fX(x)fY(y) 所以随机变量X和Y独立。
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第十二节 二维随机变量函数的分布
一、 填空题
1.设X和Y为两个随机变量，且P{X?0,Y?0}?3,P{X?0}?P{Y?0} 754?.则P{max(X,Y)?0}?
772.设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布律，且X的分布律为
?0X~?1??201??Z1???1?，则随机变量Z?max{X,Y}的分布律为?? ??P0.250.75?2???二、 选择题
1. 设X和Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则
Z?min{X,Y}的分布函数是 （ D ）
（A）FZ(z)?FX(x) （B）FZ(z)?FY(y)
（C）FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? （D）FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)? 2. 设X和Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则
Z?max{X,Y}的分布函数是（ B ）
（A）FZ(z)?max?FX(x),FY(y)? （B）FZ(z)?FX(z)FY(z)
（C）FZ(z)?min?FX(x),FY(y)? （D）FZ(z)?1??1?FX(x)??1?FY(y)?
第二章 练习题
1.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和
绿，与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X的概率分布。
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解：
X 0 1 2 3 P
1111 2 3 3 22222.在纺织工厂里一个女工照顾800个纱锭，每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某一段时间内每个纱锭被扯断的概率等于0.005，求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。
解：设X表示一段时间内断纱的次数，则X~B(800,0.005) 由于n=800足够大，X还近似服从P(4)
4ke?4 P(0?X?10)??=0.997
k!k?0103.设随机变量X的概率密度
?Ax2e?x，f(x)???0,求：（1）常数A；（2）概率P(X?1)。 解：（1）
x?0x?0
??0Ax2e?xdx?A?(3)?2A?1,?A?1 2（2）P(X?1)???112?x5xedx?e?1=0.9197 （分部积分法） 224.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离X(m)的概率密度
x?1??xe2500,f(x)??1250?0,?2x?0x?0
如果弹着点距离目标不超过50m时，即可摧毁目标。求：
求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；
（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？ 解：（1）P(X?50)??5001xe1250?x22500dx?1?e?1?0.6321
（2）1?(1?0.6321)n?0.95，解得n?3
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