?f，其中
将（3）式中的μs改为-μs就是这个结果．可
N m f 见：当tanθ = 1/μs时，F趋于无穷大，只有当tanθ < 1/μs时，才能增加F的大小使木块向上加速滑动．
2．2 如图所示，设质量m = 10kg的小球挂在倾角α = 30°的光滑斜面上，求： （1）当斜面以加速度a = g/3沿
y N m f θ x F 图中所示的方向运动时，
α a f ≦ fs = μsN， 而 N = Gcosθ． 要使木块加速下滑，重力沿着斜面的分量不得小于
θ G 最大静摩擦力fs．根据牛顿第二定律得
Gsinθ - μsGcosθ = ma≧0， 因此tanθ≧μs． 证毕．
（2）[解答]要使物体恰好不下滑，则有
Gsinθ - μsN - Fcosθ = 0， （1）
图2.2 绳中的张力
及小球对斜面的正压力各是多大？ （2）当斜面的加速度至少为多大时小球对斜面的正压力为零？（g = 9.8m·s-2） [解答]（1）小球受到重力G，斜面的支持力N和绳子的张
y T x α G a N - Gcosθ - Fsinθ = 0． （2） （2）×μs +（1）得
Gsinθ - μsGcosθ – Fcosθ - μsFsinθ = 0， 解得
F?sin???scos?cos???ssin?mg． （3）
θ G N 上式代入（2）得
N?mgcos???ssin?力T．建立坐标系，列方程得
Ncosα + Tsinα – mg = 0， Tcosα - Nsinα = ma．
解得N = m(gcosα – asinα) = 68.54(N)，
T = m(gsinα + acosα) = 77.29(N)．
（2）令N = 0，得加速度为
-2
a = gctgα = 16.97(m·s)．
2．3 物体A和B的质量分别为mA = 8kg，mB = 16kg，它们之间用绳子联结，在倾角α = 37°的斜面上向下滑动，如图所示．A和B与斜面的滑动摩擦因素分别为μkA = 0.2，μkB = 0.4，求：
（1）物体A和B的加速度；
（2）绳子的张力；
（3）如果将A和B互换位置，则（1）和（2）的
α B A ．（4）
（3）[解答]当木块平衡时，一般情况下，有
Gsinθ - f - Fcosθ = 0，N - Gcosθ - Fsinθ = 0． 解得
f = Gsinθ - Fcosθ，N = Gcosθ + Fsinθ．
?1当F的大小不断增加时，可知：○摩擦力将
不断减小；当F = Gtanθ时，摩擦力为零；
当F再增加时摩擦力将反向；至于木块是否向上做加速运动，则要进一步讨论．
2正压力将不断增加． ○
[讨论]当tanθ < 1/μs时，如果木块恰好
不上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可得
F?sin???scos?cos???ssin?mg．
图2.3
结果如何？
[解答]根据角度关系可得sinα = 3/5 = 0.6，cosα = 4/5 = 0.8，tanα = 3/4 = 0.75．
6
（1）如果物体A和B之间没有绳子，由于tanθ≧μs，可知：A和B都要沿斜面做加速运动，而B的加速度比较小．当A和B之间有绳子时，它们将以相同的加速度运动．
NB B fB 设绳子的
T NA 张力为T，根据fA T 牛顿第二定律A mBg 分别对A和BmgA α 列运动方程：
mAgsinα – μkAmAgcosα - T = mAa， T + mBgsinα – μkBmBgcosα = mBa． 两式相加得
[(mA + mB)sinα – (μkAmA + μkBmB)cosα]g = (mA + mB)a， 所以加速度为
a?g[sin??-2
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t，y?12at?212gsin??t．
2将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
y?gsin?v02x，
2这是抛物线方程．
2．5 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：
（1）今以水平力F拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力 Nm = mg = 19.6(N)，
这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为
fm = ma = 2(N)，
Nm fm
NM a ??kAmA??kBmBmA?mBcos?]
= 3.26(m·s)．
（2）将加速度a的公式代入任一方程都可解得张力为
T?(?kB??kA)mAmBgcos?mA?mB= 3.86(N)．
由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张
力才为零，这是因为它们的加速度相等． （3）将A和B互换位置后，由于A的加速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力为零．
A的运动方程为
mAgsinα – μkAmAgcosα = mAaA， 解得 aA = g(sinα – μkAcosα) = 4.12(m·s-2)． 同理得aB = g(sinα – μkBcosα) = 2.7(4m·s-2)．
2．4 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度v0运动，
?v0的方向与斜面
?fM 这也是板受到的摩擦
力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力
NM = (m + M)g = 29.4(N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为 fM = μkNM = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方
底边的水平约AB平行，如图所示，
A
求这质点的运动轨道．
v0 P B 图2.4
α 7
程为
f =μsmg = ma`， 可得 a` =μsg． 板的运动方程为
Nm f NM F a` 与k1和k2．满足关系关系式
1k?1k1?1k2；
f F – f – μk(m
f ` + M)g = Ma`，
即 F = f + Ma` + μk(m + M)g = (μs + μk)(m + M)g，
算得 F = 16.17(N)．
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为
F1 = k1x1，F2 = k2x2． （1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2，
因此
Fk?F1k1?F2k2因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．
2．6 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均
T1 a1 m1 f1 图2.6
不计）
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．
对两物体列运动方程得
T2 - μm2g = m2a2， F – T1 – μm1g = m1a1． 可以解得m2的加速度为
a2?F??(m1?2m2)gm1/2?2m2，即
1k?1k1?1k2．
（2）由于弹簧并联，所以 F = F1 + F2，x = x1 = x2，
因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．
2．8 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动； （2）小车以加速度a1沿水平方向运动； （3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成υ角； （4）用与斜面平
?行的加速度b1把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
?（5）以同样大小的加速度b2（b2 = b），
a2 m 2 f2 T2 ?= 4.78(m·s)，
-2
绳对它的拉力为
T?m2m1/2?2m2(F??m1g/2)= 1.35(N)．
图2.8
2．7 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证： （1）它们串联起来时，总倔强系数k
k1 (a) k1 k2 F 将小车从斜面上推下来． [解答]（1）小车沿水平方向做匀速直
θ T ma mg （2）
F k2 图2.7
(b) 线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平
8
方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
tanθ = ma/mg，
所以 θ = arctan(a/g)； 绳子张力等于摆所受的拉力
T?2222(ma)?(mg)?ma?g．
一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：
（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？
（2）在θ < 60°
O θ B 图2.9
C l m （3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以
θ = υ；
T = mgcosυ． （4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与
θ ma T 的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？
（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？
mg υ （ 3） θ T 绳的张力有多大？ [解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力
O l θ T m 水平辅助线相交，
mg 可得一直角三角形，θ角的对边是mbcosυ，邻边是mg + mbsinυ，由此可得：
tan??mbcos?mb υ C 方向沿着圆弧的切线B mg 方向，即F = -mgsinθ，
负号表示角度θ增加的方向为正方向．
小球的运动方程为 F?ma?mdsdt22υ （ 4） ，
mg?mbsin?，
其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速
度为
dsd?v??l，
dtdt因此角度为
因此
??arctan而张力为
bcos?g?bsin?；
F?mdvdtvB?mdvd?d?dt0?mlvdvd?，
即 vdv = -glsinθdθ， （1）
22T?(mb)?(mg)?2(mb)(mg)cos(π/2??) ?mb?g?2bgsin?．
22取积分
?0vdv??gl?260?sin?d?，
0得 解得
12vB?glcos?60?，
（5）与上一问
相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．
2．9 如图所示：质量为m =
T θ mb mg υ 5）（ vB?s)． gl= 2.21(m·vBR2-1
由于TB?mg?m?mvBl2?mg，
10kg的小球，拴在长度l = 5m的轻绳子的
9
所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得
12vC?glcos??C，
2??vCr?2gcos?r．
当 θ = 60o时，vC = 0，所以C = -lg/2， 因此速度为
vC?gl(2cos??1)．
由于NC – mgcosα = 2mgcosα，所以
NC = 3mgcosθ．
2．11 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要
h mg 图2.11
求用牛顿第二定律积分求解）
[解答]小石块在运动中受到重力和轨
切向加速度为 at = gsinθ；
法向加速度为
an?v2Cm N θ R?g(2cos??1)．
由于TC – mgcosθ = man，所以张力为 TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)． （3）当 θ = 60o时，切向加速度为
at?32道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则
F = mgcosθ．
小球的运动方程为
F?ma?mdsdt22s)， g= 8.49(m·
-2
法向加速度为 an = 0，
绳子的拉力
T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2．10 一质量为m的小球，最初静止于如图所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面ADCB下滑．试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力．
[解答]此A B 题情形与上一题的数学类型是相同的．
vC，
s表示弧长． 由于v?dsdt22dsdt，所以 dsdvdtdvdsdsdtdvds?ddtdt()???v，
因此 vdv = gcosθds = gdh， h表示石下落的高度． 积分得
12v?gh?2C，
α r D C 当h = 0时，v = 0，所以C = 0， 因此速率为 v?2gh．
取上题中l = r，对（1）式积分
?0vdv??gr?122C??90?sin?d?，
?
2．12 质量为m的物体，最初静止于x0，在力f??kx2(k为常数)作用下沿直线
得 v?rgcos??90?，
运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
f??10
1/2
解得速度为
vC?2grcos?，
角速度为
kx2?ma?mdxdt22